ГЛАВА IX.

О ПЛОЩАДЯХ .

226. Отношение площадей. Если требуется определить отношение площадей двух фигур, т.-е. узнать, во сколько раз площадь одной фигуры больше площади другой, то должно обе площади вычислить в одних и тех же квадр. единицах и полученные числа раздедить одно на другое.

Напр., чтоб найти отношение площадей тр-ков AВС и DEF (чер. 335), измерим их основания и высоты; пусть АВ = 8 арш., СМ = 6 арш., DF = 4 арш., ЕN= 2 арш.; тогда площ. АВС = 24 кв. арш., площ. DEF = 4 кв. арш., и след. площ. АВС в 6 раз больше DEF, или отн. площ. = 6 .

227. В некоторых случаях можно найти отношение площадей, и не вычисляя их.

Пусть напр. тр-к  AВС  DEF (чер. 336) и сторона АС втрое больше DF тогда и остальные стороны АВС будут втрое больше сходственных сторон DEF, т.е. АВ=3DЕ, ВС=3ЕF;  площадь же тр-ка АВС будет, как видно по чертежу, в 9 раз больше площ. DЕF.

Если бы взяли два  подобн.   тр-ка (чер. 337), в которых  отнош. сторон   есть 5,то отношение площ. их было бы 25=5•5.

Вообще—отношение площадей  подобных  тр-ков = квадрату   отношения   сходственных сторон.

Положим, напр., что сторона одного тр-ка =1 ф. 2 дюйм., а другого — 1 арш.   8 вер.; чтобы найти отношение сторон, выразим их в одинаких ме-рах: 1 фут. 2 дюйм.= 1¹/₆ фут.=⁷/₆ ф.=¹/₆ саж.;  1 арш. 8 верш. = 1¹/₂ арш.= ¹/₂ саж,; раздедив ¹/₂ на ¹/₆, найдем, что отношевие сторон есть 3, а потому отношение площадей=3•3=9. Заметим, что результат будет тот же, если мы, вместо того, чтобы прежде находить отношение сторон и потом умножать его само на себя, сначала найдем квадраты чисел, выражающих длины сторон, и потом возьмем отношение этих квадратов. Действительно, сторона одного тр-ка=¹/₂ саж., а другого ¹/₆ саж.; квадрат ¹/₂ есть ¹/₂ • ¹/₂ = ¹/₄ ; (¹/₆)² = ¹/₃₆; разделив ¹/₄ на ¹/₃₆, получим 9. Поэтому можно сказать, что площади подобных тр-ков относятся между собою как квадраты сходственных сторон.

228. Так как подобные мн-ки разбиваются диагоналями на подобн. тр-ки, то площади подобных мн- ков отиосятся как квадраты сходственных сторон.

Так, на чер. 338-м начерчены два квадрата, в которых отношение сторон = 2; отношение же площ., как видно по чертежу, равно 4.

Если, измeривши площадь плана, нашли ее равной, напр. 10000 кв. дюйм. и план  начерчен  по масштабу   10 саж. в дюймe, то площ. мeетности = 10000•100 = 1000000 кв. саж. = 4 кв. версты.

Чтобы опредeлить площадь плана, надо разбить ее на треугольники, опредeлить площадь каждого из них и взять сумму этих площ. Но гараздо  удобнeе   опредeлять  площадь плана слeдующим способом.

На листe прозрачной бумаги проводят два ряда параллельных линий, взаимно перпендикулярных (чер. 339), так чтобы весь лист раздeлился на равные квадраты. Линии проводятся в таком расстоянии друг от друга,чтобы каждый квадрат содержал по масштабу 100 квадр. саж. Этот лист накладывают на план и считают сколько таких квадратов помeщается в планe.

229. Площ. круга, котораго рад.=1 футу, равна 1² • ²²/₇ = ²²/₇ кв. ф.; если рад.=2 ф., то площ. круга=2² • ²²/₇=4• ²²/₇ кв. ф., т.-е. вчетверо больше первой; площ.круга радиуса 3 фут. будет в 9 раз больше первой, и т. д. Таким образом, если радиусы относятся как 1:2: 3..., то пдощади кругов относятся как 1:4: 9.,., слeд. площади кругов относятся как квадраты радиусов (или диаметров).

230. Начертим прямой угол и на одной сторонe его   отложим какую-нибудь   прямую линию аb (чер. 340) 3 раза, а на другой 4 раза;

соединив точки с и d, получим прямоуг. тр-к, и, откладывая по гипотенузe линию аb, увидим, что она отложится 5 раз. Построивши квадраты на гипот. и катет., найдем, что квадрат, построенный на гипот., содержит 25 квадр., из которых каждый = т; квадрат на меньшем кат. содержит их 9, а на большем —16; но 25=9+16, слeд. квадрат, построенный на гипотенузe, равен суммe квадратов, построенных на катетах.

Это свойетво открытое древним ученым Пифагором, принадлежит всякому прямоуг.тр-ку, какую бы длину ни имeли его стороны.

Возьмем сперва равнобедр. прямоуг. тр-к АВС (чер. 341); построив на гипотенузe и катетах квадраты, видим, что квадр. М состоит из 4 тр-ков, равных каждый ABC; а квадраты N и  Р состоят каждый из 2 таких же тр-ков; поэтому M=N+P.

Возьмем теперь разносторон. тр-к ABC (чер. 342).

Наложим тр-к ABC на квадрат М так, чтобы он принял положение сперва а, потом b, с, d; тогда квадр. M будет состоять из 4 тр-ков, раввых ABC, и еще из квадрата К, сторона которого = разности катетов тр-ка АВС. Приложим теперь один к другому тр-ки а и b, потом с и d (чер. 343), так чтобы из каждой пары вышел прямоугольник. Приложивши один к другому полученные прямоуголннки и еще квадрат К, получим фигуру, изображенную на чер. 344-м.

Прододжим одну из сторон квадрата K, как означено на чер. 345-м, точками; увидим, что фигура разделится на 2 квадрата N и Р. Но площадь фигуры равновелика площ. квадр. М; след. квадр. М=N+Р.

231. То же самое можно доказать еще следующим образом. Опустим из вершины В (чер. 346) прямоуг. тр-ка АВС перпендикуляр ВF на гипотенузу АС и продолжим его до пересечения в D со стороною НМ квадрата, построенного на гипотенузе. Тогда квадрат AСMН разделится на два прямоугольника, из которых СFDМ будет равновелик квадрату ВСNР, а АFНD равновелик квадрату АВЕG.

Чтобы доказать, что СFDМ равновелик ВСNР, соединим точку В с М и А с N тогда получим два тр-ка ВСМ и АСN они равны между собою, потому что сторона ВС= СN, как стороны квадрата ВСNР; сторона СМ=АС как стороны квадрата, построеннoго на гидотенузе; угол ВСM = уг.АCN, потому что  каждый из них состоит из прямого угла и из угла ВСА. Но тр-к ВМС имеет с прямоугольником СFDМ  общее основание СМ, высота же тр-ка есть перпендикуляр, опущенный из В на продолжение линии СМ; след. высота эта равна высоте DM прям-ка СFDМ . Тр-к АСN имеет с квадратом ВСNР общее основание CN; высота тр-ка есть перпендикуляр, опущенный из А на продолжение прямой СN, след. эта высота равна РN, т.-е. высоте квадрата ВСNР. Поэтому площ. тр-ка ВСМ= ¹/₂ площ. прям-ка СFDM, а площ. тр-ка АСN=¹/₂ площ. квадрата ВСNР, а так как тр-ки равны, то след.¹/₂ площ. прям-ка СFDM =¹/₂ площ. квадрата ВСNР; а потому прям-к СFDМ равновелик квадрату ВСNР. Соединив точку В с H и точку G с С, докажем таким же путем, что площ. прям-ка АHDF равна площ. квадрата АВЕG. А потому сумма площадей обоих прям-ков, т.-е. площадь квадрата построеннаго на гипотенузе, равна. сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

232. На основании сейчас доказаннаго свойства, можно складывать и вычитать квадраты, т.-е. построить квадрат, равновеликий сумме нескольких данных квадратов, или равновеликий разности двух квадратов.

Чтобы сложить квадраты т, п, р, q (чер. 347), отложим на сторонах прямого уг. от вершины его части ОА и ОВ,равныe сторонам кв. п и т, и проведем ВА, которая и будет стороной квадрата = т + п. Потом из А восставим перпендикуляр к АВ и отложим АС= стороне квадрата р ;тогда ВСбудет стороной квадр.= т + п + р. Проведя СD _|_ СВ и равную стороне q и соединив В с D, получим сторону квадрата, равновеликoго сумме квадратов т, п, р и q.

Чтоб вычесть квадр. т из п (чер. 347), надо построить такой прямоуг. тр-к, чтобы гипотенуза его была равна стороне квадрата п, а один из катетов равнялся стороне квадрата, который = n— т. Для построения этого тр-ка, чертим прямой уг. (чер. 348), откладываем AB=сторонe квадр. т; затeм из В радиусом, равным сторонe квадр. п, описываем дугу, которая пересeчет другую сторону угла к точкe С; соединив В с С, получим искомый треугольник АВС.

233. Зная, какую длину имeет каждая сторона какого-нибудь тр-ка, можно опредeлить, eсть ли этот тр-к прямоугольный, или нeт. По-ложим, напр., что тр-к имeет стороны 5, 12 и13 дюйм.; если он прямоугольный, то большая его сторона есть гипотенуза, и квадрат, построенный на ней, должен быть равен суммe квадратов, построенных на прочих сторонах. Так как 13²=169, 5²=25, 12²=144, а 169=25+144, то тр-к прямоугольный. Наоборот, тр-к, которого стороны суть 11, 12 и 15 вершк., будет косоугольный, потому что квадрат его большей стороны не равен суммe квадратов остальных  сторон.

234. Построим на сторонах прямоуг. тр-ка DEF (чер. 349) многоугольники R, S, Т, подобные между собою, и докажем, что площ. мн-ка Т равна суммe площадей R в. S.

Для этого возьмем тр-к АВС (чер. 350), равный DEF, и на сторонах его построим квадраты М, N, Р. Мы знаем, что площади подобн. мн-ков относятся как квадраты сходственных сторон; но одна сторона каждого из этих мн-ков равна сторонe одного из квадратов (так, сторона DE мн-ка R=стор. AВ квадрата М; стор, DF мн-ка Т равна АС—сто-ронe квадр. Р); поэтому площ. мн-ка R составлает такую жe часть площ. мн-ка Т, какую квадрат М составляет от квадр. Р. Равным образом и мн-к S составляет такую часть мн-ка Т, какую квадрат .N составляет от квадр. Р. Если положим, что М=²/₃Р, то и R=²/₃ Т, но так как М+N=Р, то слeд. N=¹/₃ Р, а потому и S=¹/₃Т. Итак R=²/₃ Т, S=¹/₃Т, слeд. R+S=Т.

На основании этого можно построить мн-к, равновеликий суммe нeскольких подобных мн-ков или разности двух таких мн-ков, подобно тому, как мы строили квадрат, равновеликий суммe или разности данных квадратов.

235. Возьмем прямоуг. тр-к DEF (чер. 351); раздeлим его стороны пополам в точках R, S, Т и из этих точек радиусами ТЕ, RЕ, SD опишем окружности; окружность, имeющая диаметром гипотенузу ЕF тр-ка, пройдет через вершину D прямого угла, потому что если прямой угол опирается на концы диаметра, то он должен имeть вершину на окружности.

Докажем, что площадь круга, построенного на гипотенузe, равна суммe площадей кругов, построенных на катетах. Для этого возьмем тр-к АВС (чер. 352), равный DEF, и на сторонах его построим квадраты М, N, Р. Площади кругов относятся между собою, как квадраты диаметров, диаметры же равны соотвeтственно сторонам квадратов М, N, Р; слeд. если квадр. M составляет напр. ²/₃  Р, то и площ. круга R= ²/₃  пл. Т; пл. круга S составляет такую же часть пл. Т, какую  квадр. N составляет от квадр. Р. Но если М=²/₃ Р, то N= ¹/₃Р, слeд. S = ¹/₃T . Итак T = R + S

Это дает возможность строить круг, равновеликий суммe нeскольких данных кругов или разности двух кругов.

236. На   чер.   353-м   представлен прямоуг. тр-к АВС, на сторонах которого построены полукруги.

Если от полукруга, построенного на гипотенузe, отнять сегменты  т и п,   то получим тр-к   АВС;   а   если   тe   же сегменты отнять от полукругов, имeющих диаметрами катеты, то получим криволинейныя фигуры р и. q. Остатки эти должны быть равны   между собою, потому что полукруг, построенный на гипотенузe, равен суммe полукругов, построенных на катетах. Таким образом, площ. тр-ка АВС = суммe   площ.   криволинейных фигур р и q. Фигуры эти наз. гиппократовыми  луночками   по имени ученого, открывшего вышеизложенное их свойство.

237. Нахождение квадратур. Найти квадратуру какой-нибудь фигуры значит построить квадрат, равновелкий этой фииурe. Возьмем сперва прямоуг: АВСD   (чер. 354).

Продолжим ВС за точку  С так, чтобы ВЕ=АВ; на ВЕ опишем   полукруг, продолжим DС до пересeчения  с  полуокружностью  в точкe N  и точку N соединим с В. Если   на   ВN построим квадрат NK, то он будет равновелик прямоуг. ABCD.Для доказательетва соединим точку К с Е и точку N с  точкой А; тр-к АВN равен тр-ку ВКЕ, потому что BN=ВК, как стороны квадрата; АВ=ВЕ по отложению; уг. АВN=уг. КВЕ, так как эти углы состоят из общей части—угла NВЕ и двух прямых углов АВС и КВN.  Площ. тр-ка АВN составляет ¹/₂ площ. прям. АВСD, так как основанием обeих фигур служит прямая AВ, а высота тр-ка — перпенд., опущенный из N на продолжение АВ—равна ВС, высотe прям-ка АBСD. Точно так же тр-к ВКЕ составляет ¹/₂ квадр. NK, так как основанием у обeих фигур служит линия ВК, а высота тр-ка — перпенд., опущенный из Е на продолжение ВК—равна ВN высотe квадрата NK. Но тр-к АВN = тр-ку ВКЕ, слeд. и прям-к АВСD равновелик квадрату  NK.

238.   Чтоб тр-к АВС (чер. 355) обратить в квадрат, обратим сначала этот тр-к в прямоугольник; для этого построим на основании тр-ка АС прям-к АЕМС, которого высота АЕ=¹/₂   высоты   ВD тр-ка;

этот прям-к будет равновелик тр-ку, потому что площ. прям-ка.=АС•АЕ= =АС•¹/₂DВ; потом прям-к АМCЕ обратим в квадрат.

Замeтим, что можно бы построить такой прям-к, который имeл бы высоту=высотe тр-ка, а основание вдвое меньше основания тр-ка; этот прям-к был бы также равновелик тр-ку.

Всякий многоугольник мож-но, как мы видeли, обратить в треугольник, а потом и в квадрат.

239.   Чтобы круг обратить в квадрат, будем рассуждать так; площадь круга = окружности, умноженной на половину радиуса, или полуокружности, умноженной на радиус; слeд. круг равновелик такому прям-ку, у которого одна сторона есть полуокружность, а другая радиус.

Окружность в 3¹/₇ раза болше диаметра; стало быть полуокружность в 3¹/₇ раза   больше радиуса; поэтому, если возьмем   (чер.   356)  прямую DF=3¹/₇АС, восставим из D перпендикуляр DН=АС и построим прям-к DFМН, то он будет равновелик кругу, которого радиус есть АС; потом прям-к DFМН обратим в квадрат.

Мы уже говорили, что число 3¹/₇ представляет не точное, а только приближенное отношение окружности к диаметру; точно определить, во сколько раз окружность больше своего диаметра, невозможно: окружность несоизмерима с диаметром, т.е. длину её нельзя точно выразить ни целым диаметром и никакой его долею; след. нельзя начертить прямую линию, которая была бы совершенно точно равна длине окружности; поэтому и точное решение задачи о квадратуре круга невозможно.

240. Увеличение и уменьшение фигур. Увеличить или уменьшить фигуру в несколько раз значит построить фигуру, подобную данной, притом так, чтобы её площадь была в известное число раз больше или меньше площади данной фигуры.

Положим, что требуется увеличить или уменьшить напр. в 5 раз квадрат. Для этого строим прямоугольник, которого одна сторона=стороне квадрата, а другая в 5 раз больше или меньше её; площадь этого пр-ка будет в 5 раз больше или меньше данного квадрата; затем этот пр-к обращаем в квадрат по способу, указанному в § 237-м. 241.

Чтоб увеличить в несколько раз, напр. в 3 раза, какой-нибудь   мног-к   М  (чер. 357), построим   на   одной из сторон его квадрат N и утроим этот квадр., как показано выше;—пусть квадр. Q будет втрое больше квад-рата N. Затем построим на стороне квадр. Q мног-к Р, подобный данному M; он и будет втрое больше М. Действительно, во сколько раз квадр. Q больше квадр. N во столько же раз и мног-к Р больше М; квадр. же Q втрое больше N.

Подобным образом можно и уменьшить мног-к в несколько раз.

242. Положим, что нужно увеличить напр. в 5 раз круг (чер. 358).

Для этого строим квадр. т, которого сторона= радиусу этого круга; потом строим квадр. M,который был бы в 5 раз больше т; сторона АВ квадрата М будет радиусом того круга, который в 5 раз больше данногокруга. Действительно, площ. данного круга в 3¹/₇, раз больше квадр. т; а площ. круга, которого радиус АВ, в 3¹/₇ раз больше квадр. М; квадрат же М впятеро больше квадрата т.

Подобным   образом   можно и уменьшить   круг  в несколько раз.

243. Увеличить или уменьшить многоугольник. в 4, 9, 16, 25... раз, или в 2², 3², 4², 5²... раз можно, построивши мн-к, подобный данному, притом так, чтобы сторона его была в 2, 3, 4, 5... раз больше или меньше сходственной стороны данного мн-ка. Чтобы увеличить или уменьшить круг в 4, 9, 16, 25... раз; надо описать круг радиусом в 2, 3, 4, 5... раз большим или меньшим данного.

Увеличить мног-к или круг в 2, 3, 4, 5... вообще в целое число раз можно также, построивши на основании §§ 234 и 235 мн-к или круг, равновеликий сумме 2, 3, 4... мн-ков или кругов, равных данному.

244. Решим несколько задач.

1) Дан разносторонний тр-к АВС (чер. 359); построить такой равнобедренный тр-к, чтобы он имел основанием АВ и был равновелик тр-ку АВС?

Высота искомого тр-ка должна быть равна высоте данного; a так как в равнобедр. тр-ке высота делит основание пополам, то восставляем из средины Е прямой АВ пернендикуляр, а из C проводим параллельную АВ до пересечения с этим перпендикуляром в Р; тр-к АВF будет искомый.

2) Тр-к АВС (чер. 360) превратить в такой, который 6ы имел основанием АВ, а угол при точке А равнялся бы данному углу m?

Строим при точке А прямой АВ уг. ВАD = т; из С проводим  СF || АВ; тр-к АFВ будет искомый.

3) Построить квадрат, равновеликий ⁵/₇ данного квадрата? Надо построить прямоугольник, которого одна сторона= стороне квадрата,  а другая= ⁵/₇ её, потом  превратить его в квадрат.

4) Тр-к АВС разделить на 3 равновеликие части прямыми линиями, проведенными из точки А?

Нужно разделить ВС на 3 равные части и точки деления соединить с А.

5) Внутри тр-ка АВС (чер. 361) найти такую точку, чтобы прямые линии, проведенные из неё в вершины уг-лов тр-ка, разделили его на равновеликие части?

Разделим одну из сторон тр-ка, напр. АС, на 3 равные части в точках М и N; из М проведем прямую || АВ, а из N прямую || ВС; точка Опересечения этих прямых и будет искомая, и, соединив  O   с   А,   В,  С,   получим тр-ки   АВО,   ВСО,   АСО, каждый из которых будет иметь   площадь = ¹/₃ площ, АВС.   Действительно,   если соединим M c В, то площ, АMВ=¹/₃ пл. АСВ, так как основание АМ тр-ка АМВ=¹/₃ основания АО тр-ка АСВ, высота же этих тр-ков одна и та же. Но тр-к АВМ равновелик  АВО,   так как они имеют одно основание АВ, а вершины их лежат на пря-мой ОМ, параллельной   основанию;   след.   площ.   АВО=¹/₃ площ.   АВС.   Подобным   образом   докажем,   что   площ. ВОС=¹/₃ пл. АВС; а потому и пл.  АОС=¹/₃пл. АВС.