ГЛАВА X.

О ЛИНИЯХ И ПЛОСКОСТЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ .

247. Мы знаем, что пиоскостью наз. такая поверхность, с которой во всяком месте  совпадает  линейка, или по которой через каждую точку во всяком направлении можно провести прямую линию.

Прямая линия относительно плоскости может иметь различные положения. Если линия не встречается с плоскостью, сколько бы их ни продолжали, то она || плоскости; так напр. всякая линия, проведенная по потолку комнаты, || плоскости пола. Две прямые линии, находящияся  на одной плоскости, или || между собою, или пересекаются; но прямые лянии, лежащия в разных плоскостях, могут и не встречаться и не быть || ; так, линии, проведенныя по потолку комнаты, не могут встретиться с линиями, проведенными по полу, но не всякая лиоия потолка будет || линии пола.

248. Если линия пересекает пдоскость, то она может быть _|_ или наклонна к плоскости. Возьмем плоскую доску MN (чер. 363); проведем по ней из какой-нибудь точки А две прямыя линии АВ и АС; поставим над доской в точке А палочку АD так, чтобы она была _|_ АВ, т.е. чтоб уг. DАВ был прямой; ту же палочку можно привести в такое положение АЕ, что она сдедается _|_ к линии АС, но можно дать ей и такое нааравление АО, при котором   она будет _|_  зараз и к АВ, и к АС.

Сделав это, проведем по плоскости через точку А несколько прямых линий АF, АН....; мы увидим, что АО будет также _|_ и ко всем этим линиям; в таком положении АО наз. перпендикулярною кь плоскости МN, точка А наз. основанием перпендикуляра.

Прямая линия перпендтулярна к плоскости, когда она перпендикулярна ко всем линиям, проведенным по плоскости через основание перпендикуляра. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, она должна быть перпендикулярна к двум линиям, проведенным по плоскости через основание перпендикуляра.

249. Из какой-нибудь точки А (чер. 364) можно восстановить к плоскости только один перпендикуляр, напр. АВ; всякая другая линия, напр. АС, будет наклонною или косвенною.

Точно так же — из какой-ннбудь точки А (чер. 365) можно опустить на плоскость только один перпендикуляр, напр. АВ; линии АС, АF, АЕ.... будут наклонными. Измерив перпендикуляр и косвенные, мы найдем, что

1) перпендикуляр короче всякой косвенной;
2) косвенные, равно отстоящие от перпендикуляра, равны между собою (если напр. ВС=ВF, то и АС=АF);
3) из двух косвенных та больше, которая дальше отстоит от перпендикуляра; так, если ВЕ>ВС, то и АЕ>АС.

250. Чтобы провести перпендикуляр к плоскости, употребляют прибор (чер. 366), состоящий из двух прямых углов АВС и АВD, соединенных между собою. Если нужно напр. из Е опустить перпенд. на плоскость, то прикладываем стороны ВС и ВD к плоскости; потом передвигаем прибор по плоскости до тeх пор, пока АВ встрeтит точку Е; линия АВ и будет перпендякуляр, опущенный из Е на плоcкость.

Можно употреблять также прибор (чер. 367), состоящий из картонного прямоугольника, согнутого по линии, перпендикулярной к его основанию.

251.  Двe плоскости могут   или пересeкать одна другую, или быть || между собою; так, плоскость потолка || плоскости пола и пересeкается с плоскостями стeн.

Если между двумя параллельными плоскостями находятся параллельные линии (чер. 368), то отрeзки этих линий равны между собою: АB=СD.

Если одна плоскость пересeкает другую, то в сeчении получается прямая линия; так, перегнувши лист 6умаги,увидим, что в сгибe будет прямая линия.

252.  Двугранные углы. Плоскости,  пересeкающиеся между собою, могут быть различным образом наклонены одна к другой—и это наклонение плоскостей наз. двугранным углом; так, раскрытая книга  представляет двугр. уг. На чер. 369-м   представлены   плоскости АВDC  и   FEDC,   пересeкающиеся по прямой DС, пространство,   между   ними   заключающееся,   и будет   двугр.   уг.;

линия   DС, по   которой   пересeкаются    плоcкости,   наз. ребром   двугр.  угла;   а самые   плоскости — сторонами его. Двугр.  уг. обозначается  четырьмя буквами;  из них двe   ставятся на ребрe, а другие двe на сторонах угла; эти буквы   читаются так, что буквы   на ребрe выговариваютея в серединe; напр. угол, представленный на чер.   369-м,   надо   прочесть АСDЕ.   

Возьмем   двугр.   уг. АBСD (чер. 370) и из какой-нибудь точки O на ребрe его проведем по плоскостям ВD и СА прямыe линии ОN и OМ, перпендикулярные к ребру; тогда  получим   линейный уг.МОN.

Если бы стали сдвигать или раздвигать плоскости АСи ВD, то вмeстe с уменьшением или увеличением двугр. угла стал бы пропорционально уменьшаться или увеличиваться и линейный уг. МОN поэтому уг. MON показывает степень наклонения   плоскостей одной к другой   и может   служить мeрой двугр. угла. Таким образом, чтоб измeрить двугр. уг., должно на ребрe его взять какую-нибудь точку, провести из неё по сторонам угла прямые линии, перпендикулярные к ребру, и измeрить полученный линейный уг.; сколько градусов будет в линейном углe, столько же   будет и в двугранном.

На чер. 371-м предетавлены два смежных прямых двугр. угла; а на чер. 372-м тупой двугр. уг.

Плоскости, составляющие прямой двугр. уг., наз. перпендикулярными между собою; так, плоскость АВ (чер. 371) _|_ к СD также стены комнаты перпендикудярны к полу и потолку.

253. Трехгранные углы. В каждой комнате   можно видеть углы, составленные тремя пересекающимися плоскостями; так, две стены и потолок пересекаются в одной точке и образуют угол; угол этот наз. трехгранным; точка пересечения плоскостей наз. вершиною, а самые плоскости—сторонами угла;  линии пересечения плоскостей наз. ребрами.

На чер. 373-м пред ставлен   трехгр. уг., образованный плоскостями АОВЕ, АОСF и ВОСG; вершина его есть О; АС, АВ, ВС—его стороны; ОС, ОВ,  ОА—ребра.

В каждом трехгр. угле находится три линейных угла и три  двугранных;  так,   в   угле,   изображенном   на  чер. 373-м, находятся линейные углы АОВ, ВОС, АОС; двугр, углы—АОВG, состоящий из плоскостей АОВЕ, и ВОСG, уг.  GСОF, состоящий из плоскостей  GСОВ и FСОА, наконец уг. FОАЕ, образованный плоскостями FСОА и ЕВОА, В трехгр. угле,   образованном стенами   комнаты с потолком, находятся следующие двугр. углы: уг. между двумя стенами, уг. одной стены с потолком и угол другой стены. с потолком.

254. Многогранные углы. Если четыре или более плоскостей пересекаются между собою, то они составляют многогранный угол. Чтобы получигь такой угол, вырежем из картона 4 фигуры такого вида, как SАВ (чер. 374), и приложим их одна к другой, как показано на чертеже; тогда и получим четырехгр. уг. Из 5 таких фигур можно составить пятигр. уг., и т. д.

255. Во всяком  многогранном  угле (сколько  бы   он ни имел сторон) сумма линейных  углов, находящихся при его вершине, меньше четырех прямых   или 360°.   Действительно,   если мы разрежем уг. S (чер. 374)   по направлению ребер SА, SВ... и положим линейные углы на плоскость так, чтобы  вершины   их совместились (чер. 375), то сумма этих углов а + b+ с + d  будет меньше 4 прям.; в самом деле, если бы она равнялась 4 прям., то эти углы образовали бы плоскость, и из них нельзя было бы составить многогранного угла.

Вырежем из картона несколько правильных фигур, напр. тр-ков, квадратов, пятиуг. и т. д., будем прикладывать эти фигуры друг к другу (треуг. к тр-ку, квадрат к квадрату...) так, чтобы составлять многогр. углы; тогда мы увидим, что многогр. углы составятся не из всяких фигур. В самом деле, каждый угол прав. тр-ка=60°; из трех тр-ков можно составить трехгранный угол, потому что сумма углов при вершине=180°, т.-е. меныне 4 прям.; из 4, 5 правильн. тр-ков также можно составить миогогр. углы; но шестигранного угла нельзя составить из прав. тр-ков, потому что сумма линейных уг-лов будет 360°. Из квадратов и прав. 5-ков можно составить только трехгранные углы; 3 правил. 6-ка не могут составить угла, ибо каждый угол прав. 6-ка = 120°; след. сумма трех угл. = 4 пр.

256. Возьмем   на плоскости   3 угла а, b, с (чер.   376)  и положим, что наибольший из них есть b;

представим, что плоскости   SMN и  RМР  повертываются — первая около   линии MN слева направо,   а вторая   около   МР  справа  налево.   При  этом может   случиться,   что линия   MR не совпадает   с   MS, хотя   бы плоскости   РМR  и SMN  совпали с плоскостью NMP; это будет  в таком   случае,  когда  уг. b будет больше суммы уг. а и с; если уг. b = а + с, то линии MR и MS совпадут   между   собой в плоскости угла b. В обоих случаях трехгр. угла, очевидно, не получится; а чтобы он образовался нужно, чтобы MR совпала с MS вне плоскости NMР; это будет  тогда,   когда уг. b меньше а + с. Мы   положили,   что уг. b есть наибольший из данных углов, и если уже b меньше а+с, то и подавно   а меньше b+с и с меньше   а+b.   Итак, во всяком трехгранном  угле каждый линейный  угол меньше суммы двух прочих.

257. Вопросы. 1) Что наз. плоскостью? 2) В каком относительном положении могут быть прямые линии в пространстве? 3) Всякия ли две не пересекающиеся прямые линии параллельны между собою? 4) В каком положении может находиться прямая линия относительно плоскости? 5) Когда прямая линия наз. перпендикулярною к пдоскости? 6) Как восставить и опустить перпенд. из точки на плоскость? 7) Что получается в сечении двух плоскостей? 8) Что наз. двугран. углом? 9) Чем измеряются двугр. углы? 10) Что наз. трехгр. уг.? многогр.? 11) Какоe свойство имеют линейные углы при вершине многогр.? 12) Какое свойство имеют линейные углы в трегр. угле?

258.   Задачи. 1) Можно ли составить многогр. угол, сложивши вершинами 10 равнобедр. тр-ков, у которых   уг. при основании=80°? 20 таких тр-ков?

2)  В трехгр. угле   один  линейный   уг.=115°23'.   а другой  =69°56'; больше и меньше чего не может быть 3-й линейн. уг.?

3)  Три прямые, выходящие из одной точки, образуют между собой последовательно углы в 110°, 113° и 137; могут ли эти прямые лежать в одной плоскости?