ГЛАВА XI.

О ТЕЛАХ .

259.  Тела могут быть ограничены или плоскостями (напр. обыкновeнная   комната,   ящик), или   кривой   поверхностыо (напр. мячик, гдобус); если тело ограничено плоскостями то оно наз. многогранником.

260.   Пирамида.  Чтобы ограничить пространство со всех сторон, нужно по крайней мере 4 плоскости. Три плоскости, пересекаясь меёгду собою в одной точке,образуют, как мы видели, трегран. угол (чер. 377) — пространство, неограниченное с одной стороны;

но если этот угол пересечь плоскостью (чер. 378), то получим уже пространство, ограниченное со всех сторон,или тело; такое тело наз. треугольной пирамидою. Если бы мы взяли четырегр., пятигр.... углы и пересекли каждый из них пдоскостью, то получили бы четырехугольную, пятиугольную... пирамиды (чер. 379 и 380).

Таким образом пирамида есть тело, ограниченное с боковь треугольниками и имеющее в основании какой-нибудь многоугольник. Точка S, в которой сходятся все тр-ки, наз. вершиной  пирамиды;   самые тр-ки наз.   боковымии   гранями , а линии SА, SВ... (чер. 380) боковыми ребрами пирамиды. Сколько сторон имеет многоуг., находящийся в основании пирамиды, столько же боковых граней имеет и пирамида; поэтому пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т. д. Высотою пирамиды (чер. 379 и 380) наз. перпендикудяр SО, опущенный из вершины на плоскость основания; этот перпендикуляр может упасть или внутри основания (чер. 380), или вне его (чер. 381).

Если в основании  пирамиды (чер. 380)   будет правильный многоугольник и высота упадет в центр этого многоуг., то такая пирамида наз. правильною. В прав. пирамиде все боковые ребра и боковые грани равны между собою.

Если пирамиду (чер. 382) рассечем плоскостью, параллельною её основанию, то она разделится на два тела: одно а будет пирамида, похожая на данную, но меньшего размера; другое же тело b наз. усеченной пирамидою.

Возьмем прав. четыреуг. пирамиду (чер. 383), т.-е. такую, у которой в основании квадрат; проведем её высоту S и раздeлим высоту на нeсколько равных частей, напр. на 4 в точках а, b, с; если проведем через эти точки плоскости, параллельные основанию пирамиды, то получим в сeчениях квадраты; видим, что квадрат B вчетверо больше А; квадрат С в 9 раз больше A; квадрат D в 16 раз больше A. Таким образом, если сдeлаем в пирамидe сeчения, из которых одно было бы в 2, 3, 4, 5, 6... раза дальше от вершины, чeм другое, то площадь второго будет в 4, 9, 16, 25, 36... раз больше первого.

261. Призма (чер. 384) есть многогранник, который сверху и снизу ограничен двумя правными параллельными треугольниками или многоуг., а с боков параллелограммами. Многоуг-ки наз. основаниями призмы; высотою призмы наз. перпендикуляр SO, опущенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания; параллелограммы, ограничивающие призму с боков, наз. боковыми гранями, а линии АЕ, DК... наз. боковыми ребрами. Призма N (чер. 384), в которой боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, наз. прямою призмою; другие двe призмы будут наклонныe. Всe боковые ребра призмы равны между собою; в прямой призмe каждое боковое ребро есть вмeстe с тeм и высота призмы, а боковые грани суть прямоугольники.

Призмы бывают треухгольвые, четырехугольные и т. под., смотря по тому,сколько сторон находится в основании призмы.

262. Параллелепипед. Если в основании призмы   будет параллелограмм (чер. 385—387), то такая призма наз. параллелепипедом;   параллелепипеды,   как и   всякие   призмы, бывают прямые (чер. 385) и наклонные (чер. 386).

Если прямой параллелепипед (чер. 385) будет имeть основанием прямоугольник, то он наз. прямоуголным параллелеп.; комнаты обыкновенно имeют вид таких параллелепипедов.

Наконец—прямоугольный параллелепнпед М (чер. 387), у котораго всe ребра (как боковые, так и при основании) равны между собою, наз. кубом.

263. Таким образом, куб ограничен шестью квадратами; поэтому, чтоб сдeлать куб из картона или из досок, нужно вырeзать шесть равных квадратов, потом приставить четыре из них один к другому так, чтобы плоскости каждых двух сосeдних квадратов составляли между собою прямые двугр. углы; наконец положить один квадрат снизу, другой сверху. Но чтобы это сдeлать удобнeе, лучше начертить сначада так называемую сeть куба, т.-е. такой чертеж, который выйдет, если мы представим себe грани куба  лежащими на одной   плоскости   так, что они, будучи соотвeтственно сложены, и составят куб. Эта сeть будет имeть вид, представленный на чер. 388-м.

Прямоугольник АВ, состоящий из четырех равных квадратов, изображает боковые грани куба, или боковую поверхность куба, развернутую в плоскость; а квадраты т и п представляют верхнее и нижнее основания; если вырезать эту сеть и согнуть по линиям, которые означены на чертеже точками, то получим куб.

Подобным образом можно начертить сеть и другого какого-нибудь тела; напр. на чер. 389-м представлена прямая пятиугольная призма; сеть её будет иметь вид, изобра женный на чер. 390-м.

264.   Чтобы начертить сеть какой-нибудь  пирамиды, надо начертить рядом треугольники, составляющие её грани так, чтоб они имели общую вершину и по одной общей стороне; под одним из них надо начертить основание.

Чтоб начертить сеть правильной пирамиды, напр. четырехугольной, должно из какой-нибудь точки S (чер. 391) описать дугу рациуcом=боковому ребру пирамиды; потом провести 4 хорды, равных стороне основания; под одной из хорд начертить квадрат, который должен быть в основании.

265.   Правильные   многогранники. Правильными   многогранниками наз. такие, которых грани суть равные между собою правильные многоугольники и в которых все многогранные углы равны между собою. Правильных многогранников только пять.  Действительно,. в § 225-м мы видели, что из правильных тр-ков можно составить только трехгранный, четырехгранный и пятигранный угол; поэтому могут быть только три правильных тела, ограииченных тр-ками;   тела  эти    суть:   прав.   четырехгранник   или   тетраэдр (чер.   392),   осьмииранник   или   октаэдр   (чер.   393),   двадцатигранник или икосаэдр   (чер. 394).

В первом   из этих   тел все углы трехгранные,  во втором четырехгранные,  в  третьемпятигранные.

Из квадратов можно составить только трехгранный угол; потому может   быть только   одно правильное тело,   ограниченное квадратами, а именно  прав.  шестигранник   или гексаэдр, иначе куб (чер. 395).

Из правильных пятиугольников можно составить только трехгр. угол, след. может быть только один прав. многогранник, ограниченннй пятиугольниками, именно прав.  двадцатигранник или додекаэдр (чер. 396).

Из прав. 6-ков, 7-ков,... нельзя составить многогр. угла: поэтому и не может быть тел, которых грани были бы равные между собою прав. 6-ки, 7-ки и т. д.

266. Вопросы. 1) Сколько нужно плоскостей, чтоб ограничить со всех сторон пространство? 2) Что наз. пирамидой? 3) Какими фигурами ограничена пирамида? 4) Какая пирамида наз. правильною? 5) Что наз. призмой? 6) Как разделяются призмы? 7)Что наз. параллелепипедом вообще? прямым параллелепипедом? прямоугольным? кубом? 8) Что наз. сетью какого-нибудь тела?

267.  Задачи. 1)  Начертить сеть правильной пятиугольнои пирамиды? прав. трехугольной? прав. усеченной  трехугольной? прав. усеченной четырехугольной?

2)  Начертить сеть правильного  четырехугольника?

3)   Сделать из картона тело по сети,  изображенной  на чер. 397?