ГЛАВА XIII.

ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЁМОВ  ТЕЛ .

285. Тела равновеликие. Пространство, занимаемое каким-нибудь телом, или вместимость этого тела наз. его объемом. Могут быть такие тела, которые имеют одинаковый объем, но различный вид, так что хотя они и занимают одинаковое пространство, но нельзя вложить одно тело в другое так, чтобы они совместились. Возьмем напр. две прямые треугольные призмы АВ и ЕF  (чер. 418), которых основания и высоты равны;

мы можем приставить эти призмы одну к другой так, что образуется одна призма МN  (чер. 419), которой основание то же самое, а высота вдвое больше; можем также составить из них параллелепипед КL; объем параллелеп. будет, очевидно, равен объему призмы MN, так как оба эти тела состоят из одних и тех же призм; но параллелеп., конечно, не может совместиться с призмой. Тела, имеющие равный объем, наз. равновеликими.

286. Единица для измерения объемов. Измерить объем какого-нибудь   тела   значит   найти, сколько раз в нем может поместиться   другое тело,   объем   которого прини-мается за единицу.   Такой  единицей служит   куб, которого каждое ребро = линейной единице, напр.,   сажени, аршину и т. под. Таким   образом,   определить   объем   или вместимость комнаты значит узнать, сколько  поместится   в ней кубических   саж.,   куб.   арш. и т. под.   Для этого надо бы поставить в комнате   одну куб. саж.  или один нуб. арш. рядом с этой единицей поставить другой такой куб, потом третий и т.   д.,   пока вся комната   не   наполнится. Но такое измерение будет и неудобно, и весьма продолжительно; мы покажем   сейчас,   каким   образом   можно   измерять объемы тел, не помещая в них куб. мер.

287. Обем прямоугольного  параллелепипеда. Возьмем прямоуг. параллелеп. АЕ (чер. 420);   

чтобы   измерить   его объем, определим сперва площ. его основания; для этого измеряем две стороны основания АВ и АС;   пусть   АВ = 4:   арш., а АС=3 арш.;   тогда площ. АВСD=12 кв. арш., и след. на нее можно   поставить 12  кубов, которых каждое ребро по 1 арш., т.-е. 12 куб. арш. Измерим теперь ребро АF;   пусть   АF=5   арш.;   след. 12 куб. арш., поставленные на АD, займут только ¹/₅ всего пар-да АЕ, и потому объемAE=12•5=60 куб. арш. Итак, чтоб определить объем прямоуг. пар-да, надо измерить одной и той же линейной единицей три ребра его, выходящие из общей вершины, и долученные числа перемножить; произведение покажет, сколько содержится в пар-де соответствующих кубических единиц. В прямоуг. пар-де три ребра, идущие из одной вершины, наз. измерениями этого пар-да; поэтому предыдущее правило об определении объема короче выражают так: объем прямоуг. параллелеп.= произведению трех его измерений.

Можно сказать также, что оъбем прямоуг. параллелеп.= произведению площади его основания на высоту. Если напр. площ. основан. = 17 кв. фут., а высота = 3 фут., то объем=17.3=51 куб. ф.

Положим еще, что нужно определить оъбем прямоуг. пар-да, которoго измерения суть 15 дюйм., 3 вершка и 1¹/₂ ф. Здесь величина измерений пар-да выражена числами разных наименований, и для определения оъбема пар-да надо все числа привести в одно наименование и полученные числа перемножить. Обращая напр. все числа в дюймы, найдем, что 3 верш.=³/₁₆ арш.=³/₁₆ • 28 дюйи.; 1¹/₂ фут.=1¹⁰/₂ • 12 д., след. оъбем пар-да= 15 • ³/₁₆ • 28 • 1¹/₂ • 12==1417¹/₂ куб. дюйм.

288. Оъбем куба. Так как все ребра куба равны между собою, то чтобы определить оъбем куба, надо измерить одно ребро его и полученное число взять миожителем 3 раза; тогда узнаем, сколько соответствующих куб. единиц заключается в кубе. Если напр. ребро куба = 5 фут., то оъбем его=5 • 5 • 5=125 куб. фут. Таким образом 1 куб. саж.= 3•3•3 = 27 куб. арш. = 7 • 7 • 7 = 343 куб. фут.; 1 куб. ф.=12 • 12 • 12=1728 куб. дюйм., и т. под.

Если какое-нибудь число берется множителем 3 раза, то полученное произведение называется кубом этого числа; так 8 есть куб двух, ибо 8 = 2 • 2 • 2; след. оъбем куба = кубу его ребра.

Обратно—если известен оъбем куба, то можно определить длину ребра его; пусть напр. оъбем куба=512 куб. верш.; чтобы узнать, сколько вершк. содержит ребро куба, надо найтн такое число, которое, будучи взято множителем 3 раза (иначе говоря, будучи возвышено в куб), дало бы 512; такое число есть 8; след. ребро=8 вершк.

289. Обем всякoго параллелепипеда. Всякий пар-д равновелик такому прямоугольному пар-ду, который имеет с ним равновеликое основание и равную высоту.Чтобы проверить это, возьмем два ящика М и N (чер. 421), из которых один имеет вид прямоугольнoго, а другой наклон нoго пар-да;

дно ящика N пред-ставляет косоугольный параллелограмм, а площадь его равна площади дна прямоуг. пар-да; высота этих пар-дов также одинаковая; оба они сверху открыты. Насыплем песку в ящик М до самoго верха; если потом пересыпем этот песок в N, то увидим, что и этот ящик наполнится. Поэтому оъбем всякoго параллелепипеда равен произввдению площади его основания на высоту.

290. Объем треугольной призмы. Если прямой пар-д АD (чер. 422) разрезать по направлению двух противоположных ребер АВ и СD, то получим две равныe треуг. призмы M и N;

стало быть каждая из призм составляет ¹/₂ пар-да; поэтому оъбем её равен ¹/₂ оъбема пар-да, т.е.= ¹/₂ основания пар-да, умноженной на высоту его, но ¹/₂ основания пар-да составляет основ. призмы; высота призмы такая же, как и в пар-де, след. объем прямой треугольной призмы = площади, её основания, умноженной на высоту. Так же определяется и оъбем наклонной треугольной призмы.

Положим напр., что основанием призмы служит равнобедр. прямоуг. тр-к, которoго катет = 4 дюйм., а высота призмы=6 дюйм.; тогда площ. основ.=8 кв. дюйм., а след. оъбем призмы=8•6=48 куб. дюйм.

291 Оъбем многоугольной призмы. Возымем многоуг. призму (чер. 423);   

ее   можно разрезать   на треуг. призмы; все они будут иметь ту же высоту, как и многоуг. призма, а сумма   их   оснований   составляет   основание данной призмы; поэтому объем всякой призмы=площади её основания, умноженной на высоту.

292.   Обем пирамиды. Всякая пирамида   составляет ¹/₃ призмы того же основания и той же высоты. Чтобы проверить это, возьмеы ящик А, имеющий   вид   призмы (чер. 424), и пирамиду В, внутри пустую; основание её такое же, как у призмы, и высота такая   же; насыплем в нее песку или нальем воды (для этого, разумеется, ее надо обернуть вершиной   вниз)   так, чтобы наполнить   ее;  потом выльем эту воду в призму; затем   опять наполним пирамиду и опять   выльем;   мы   увидим, что  надо три раза перелить   воду   из   пирамиды   в   призму—и  тогда только призма наполнится. Поэтому объем пирамиды=¹/₃ произведения площади её основания на высоту.

Если напр. основание пирамиды есть прямоугольник, которого одна сторона=1 арш., а другая 12 верш., высота же пирамиды=2 арш., то объем её=1•³/₄ •²/₃=¹/₂ куб. арш.

Чтобы найти объем усеченной пирамиды аbсABС(чер.425), должно из объема пирамиды SАВС вычесть объем Sabc.

293.  Правило для определения   объема  пирамиды  можно проверить еще следующим образом. Возьмем сделанную из дерева треугольную призму АВСDЕF (чер. 426); еcли ее раcсечь сперва так, чтобы сечение проходило через точку Е и линию AF потом через точку Е и линию АВ, то призма разделится на три треугольные пирамиды ЕАВС (чер. 427) АDЕF (чер. 428) и ЕАBF (чер. 429). Если свешать эти пирамиды, то окажется, что все они имеют одинаковый вес; а так как они из одного вещества, то должно заключить, что они имеют один и тот же объем. Таким образом треугольная   пирамида ЕАВС (чер. 427) есть треть призмы АВСDFЕ (чер. 426), имеющей с ней равное основание (АВС) и равную высоту.

Bозьмем многоуг. пирамиду SАВСDЕ (чер. 430). Ее можно разрезать на треуг. пирамиды SАВЕ, SВСЕ, SСDЕ; все они будут иметь ту же высоту, как и многоуг., а сумма их оснований составляет основание взятой нами многоуг. пирам.; поэтому и объем всякой пирамиды=¹/₃произведения площади её основания на высоту.

294. Обем цилиндра. Цилиндр можно считать за призму, у которой в основании не многоугольник, а круг; сдед. объем цилиндра определяется точно так же, как и объем призмы; т.е. он = произведению площади основания на высоту. Если напр. рад. основ. цил. = 7 верш., а высота=10 верш. то площ. основ.=7² • ²²/₇=154 квадр. верш., а след. объем=154•10=1540 куб. верш.

295. Правило для определения объема цилиндра применяется к определению объема бочки;

именно, бочку (чер. 431) рассматривают как цилиндр, которoго высота=длине АВ бочки, а диаметр основания есть арифметическое среднее диаметра СD края и диаметра FЕ средины бочки. Положим напр., что АВ=2 арш., CD = ³/₄ арш, EF=1¹/₄ арш.; тогда арифм. средн. между ³/₄   арш.   и 1¹/₄    арш.    будет  ( ³/₄+ 1¹/₄) : 2 = ²/₂ =  1   арш.;  рад. цилиндра будет = ¹/₂ арш.,  а   потому объем цилиндра, след. и вместимость бочки, будет = ¹/₂•¹/₂•²²/₇•2 = ¹¹/₇ = 1⁴/₇ куб. арш.. Вместимость можно выразить и в ведрах, зная, что ведро=750 кубич. дюйм.

296. Обем конуса. Конус можно   считать за правильную пирамиду, у которой в основании круг, а не многоуг.; поэтому объем конуса определяется так же, как и объем пирамиды; т.е. он=одной трети произведения площади основания на высоту. Если напр. рад. основ. = 1 аршину, а высота = 6 арш., то площадь основ.=²²/₇ кв. арш., а объем =  ²²/₇ • 2= 6 ²/₇ куб. арш.

297. Обем шара. Поверхность шара можно считать состоящей из чрезвычайно большого количества весьма малых плоских фигур, напр. треугольников; если мысленно соединим вершины этих тр-ков с центром шара, то получим множество пирамид, которые все вместе и составляют объем шара; все эти пирам. имеют одну высоту, именно радиус шара, а основания их составляют поверхность шара. Но чтобы найти обьем пирам., должно площ. её основ. умножить на ¹/₃ высоты; след. мы найдем сумму объемов всех пирамид, или объем шара, если умножим сумму всех основ. или поверхность шара, на треть радиуса. Итак объем шара=поверхности шара, умноженной на треть радиуса.

Если напр. рад. шара=21 дюйм., то поверхность шара= =4• 21²• ²²/₇; сдед. объем его =  4• 21²• ²²/₇• ²¹/₃ =38808 куб. дюйм.

Выражение  4• 21²• ²²/₇• ²¹/₃  можно представить в таком виде:  4• 21³• ²²/₇• ¹/₃  или    ⁴/₃• ²²/₇•21³; поэтому можно сказать. что для определения объема шара надо умножить куб его радиуса на ⁴/₃ отношения окружности к диаметру. Это дает возможность определять объем шара по его радиусу, не вычисляя предварительно поверхности шара.

298. Если определим объемы шаров, которых радиусы суть 1, 2, 3, 4... фут., дюйм., вообще каких-нибудь линейных единиц, то окажется, что они относятся между собою как 1 : 8 : 27 : 64...; таким образом объемы шаров относятся между собою как кубы их радиусов; так известно, что рад. солнца в 110 раз больше радиуса земли, поэтому объем солнца в 110•110•110, или в 1331000 раз больше объема земли; рад. луны составляет ³/₁₁ рад. земди, поэтому объем луны=³/₁₁•³/₁₁•³/₁₁= ²⁷/₁₃₃₁ или почти ¹/₅₀ объема земли; т.-е. из земли могло бы выйти 50 шаров такого же объема как луна.

299. Определение объема всякого тела. Если тело не велико, то объем его, какую бы форму оно ни имело, можно определить следующим образом. Возьмем стеклянный   сосуд (чер. 432), имеющий вид прямоуг. паралледепипеда, и нальем в него воды до известной высоты, наприм. до 6 вершк.;   

потом  положим  в воду тело, объем которого надо определить. Погрузившись в воду, тело   вытеснит  часть воды, так что вода поднимется и станет, положим, на 8 верш., считая от дна; очевидно, что объем воды, вытесненной телом, равен объему самого тела.  Если положим. что основанием сосуда служит квадрат,   которого сторона=4 верш., то чтобы найти объем воды, вытесненной телом, надо площадь основания, или 16 кв. верш., умножить на высоту, на которую поднялась вода, т. е. на 2 верш.,—найдем 32 куб. верш.; след. объем тела=32 куб. верш.

Если тело легче воды, так что не тонет в ней, или если по-какой-нибудь причине нельзя погрузить тело в воду, то объем его определяют, погрузив его в сухой мелкий песок.

300. Вычисление веса тел. Возьмем сосуд (чер. 433), сделанный из железа или другого вещества, притом такой, чтобы он имел вид прямоугольного параллелепипеда, которого высота  = 1 дюйму, а основание есть квадрат, имеющий сторону = 5 дюйм.;

так как площадь основ. параллелепип. = 25 квадр. дюйм., то вместимость его=25 куб. дюйм. Нальем в этот сосуд до верха чистой воды и свесим его; потом выльем воду, вытрем насухо сосуд и снова свесим: мы увидим, что вес его уменьшится ровно на 1 фунт; итак 25 куб. дюйм. воды весят 1 фунт; стало быть 1 куб. дюйм воды весит ¹/₂₅ фун., а след. 1 куб. фут = 1728 куб. дюйм. весит ¹/₂₅•1728 фунт. или 69,12 фун.

Из сейчас сказанного следует, что если нам известен объем воды, то легко опредедить и вес её. Если напр. вместимость боченка = 3 кубич. фут., то в него может войти   69,12•3 = 207,36 фун. воды; если в графин налито 50 куб. дюйм. воды, то такой объем воды весит 2 фун., и т. п.

Вообще, если объем воды дан в кубич. фут., то его надо умножить на 69,12, а если в куб. дюйм., то на ¹/₂₅ — и тогда получим вес воды в фунтах. Если объем дан в каких-нибудь других куб. мерах, напр. аршинах, саженях и т. п., то нужно обратить эти меры в куб. футы или дюймы и сделать вышепоказанное вычисление.

Положим напр., что требуется узнать, сколько пудов воды поместится в бассейне, имеющем вид цилиндра, радиус основания которого =7 арш., а высота =5  арш.

Так как площ. основ. цил.=154  кв. арш., то объем его= 154•5=770 куб. арш. =⁷⁷⁰/₂₇ куб. саж.=^{770 •343}/₂₇ к.   ф.;  поэтому вес воды, наполняющей бассейн, равен

301.  Можно   также   вычислять   вес   и   других   тел по их объему, если притом будем знать, во сколько раз вещество, из которого состоит тело, тяжелее или легче воды; а чтобы узнать это, надо взять тело   известного объема, свешать   его  (посредством весов) и сравнить с весом того же объема воды, который мы уже умеем   определить.   Сделаем   напр. из железа сплошной   параллелепипед,  у  которого   в основании был бы один квадр. дюйм, а высота равнялась   бы 25 дюйм.; свешав его, найдем, что он весит 8 фунт.; но объем его = 25 куб. дюйм., а 25 куб. дюйм.   воды весит 1 фун., след.   железо в 8 раз тяжеле воды. Положим еще, что, свешавши  кусок   дерева в 150 кубич. дюйм., мы нашли вес  его = 4 фун.; так как вес такого же объема воды = 6 фун.,  то дерево в  ⁶/₄ или   в 1¹/₂ раза легче воды.

302.  Если нужно узнать, во сколько  раз   какая-нибудь жидкость тяжеле или легче воды, то поступают   следующим образом: наполняют стакан водою и свешивают его; потом свешивают стакан пустой и наполненный испытуемой жидкостью: тогда легко будет определить   вес воды и вес жидкости, наполняющей стакан. а след. и узнать, во сколько раз жидкость тяжеле или легче воды.   Пусть напр.   стакан   с   водой весит 59 зол., с серной кислотои 88 зол., а пустой   стакан 30 зол.; тогда вес серной кисл.=58 зол., а вес такого же объема воды=29 зол.; след. кислота ⁵⁸/₂₉ или вдвое тяжеле воды.

Подобным образом найдено, что медь тяжеле воды в 9 раз, серебро в 10; пробка в 4 раза легче воды; воздух в 770 раз легче воды, так что 1 куб. фут его весит 8¹/₂ зол., и т. п.

303.  Полозким теперь, что мы хотим определить вес сплошного медного шара, которого  радиус=7 дюйм. Поверх. шара= 616 кв. дюйм.,  след.   водяной

шар такого объема весил бы ,   а  медный   будет весить в 9 раз   больше  водяного, т. е.

Возьмем еще пример. Вычислим вес деревянной балки, имеющей вид прямоугольного параллелепипеда; длина балки  = 3 саж., ширина = 10 вершк.,  толщина ¹/₂ арш дерево в 1¹/₂  раза легче воды.

304. Мы видели, что фунт воды содержит 25 куб. дюйм.; поэтому, зная вес какой-нибудь массы воды, легко определить и объем её; так, во 100 фунт. воды помещается 2500 куб. дюйм., в 2 пуд. воды=25•80=2000 куб. дюйм. и т. п.; вообще, умножив на 25 вес воды, выраженный в фун., определим объем её в куб. дюйм.

Легко также определить объем какого бы то ни было тела, если известен вес его и если мы знаем, во сколько раз вещество этого тела тяжеле или легче воды. Пусть напр. тре-буется определить объем куска серебра весом в 50 фунт.; серебро в 10 раз тяжелее воды. Масса воды в 50 фунт. весом занимает объем в 25.50 куб. дюйм.; но серебро в 10 раз тяжеле воды, поэтому объем его будет в 10 раз меньше, т.е. он=125 куб. дюйм.

Вот еще задачи:   1) Определить   объем   куска пробки в 2 фунта весом, если пробка в 4 раза легче воды?

Объем двух фунт. воды = 50 куб. дюйм.; объем пробки = 50•4 к. д.

2) Сосуд, имеющий вид прямоугольнаго параллелеп., наполненный спиртом, весит 15 фунт., а пустой 3 фунт.; спирт в 1²/₃ раза легче воды; основ. сосуда = 20 кв. дюйм.; определить высоту его?

Вес спирта=12 фунт.; такая же масса воды имеет объем 25•12 куб. дюйм.; объем спирта=25•12•1²/₃ куб. дюйм.; этой же величине равна емкость сосуда; а так как основание сосуда = 20 кв. дюйм., то сдед.

305. Вопросы. 1) Что наз. объемом тела? 2) Что значит измерить объем тела? 3) Какими единицами измеряются объемы? 4) Какие тела наз. равновеликими? 5) Укажите несколько примеров равновеликих тел? 6) Как определить объем прямоуг. пар-да? куба? всякого пар-да? 7) Что произойдет, если разрезать пар-д плоскостью по направлению двух противоположных его ребер? 8) Как определить объем призмы треугольной? многоугольной? 9) Чему равен объем пирамиды? 10) Как найти объем цилиндра? конуса? шара? 11) Как определить объем небольшого тела неаравильной формы? 12) Как определить вес данного объема воды? вес данного объема какого-нибудь тела? Как определить объем воды по её весу? объем какого-нибудь тела по его весу?

306. Задачи. Примеч. Во всех задачах, для решения которых нужно пользоваться отношением окружн. к диам., принять это отн.= ²²/₇.

1)  Определить объем куба, если ребро=3 ф. 6 дюйм.?

2)  Комната имеет   в  длину 20 фут., в ширину 18, в вышину 12 фут.; сколько пудов воздуха в ней помещается? Один кубич. фут воздуха весит 8¹/₂ зол.

3)  Что будет стоить вырыть пруд, имеющий вид прямоугольн. параллелепипеда,  в   18   саж.  длины, 10 саж. ширины,  5   саж. глубины, если за вырытие одной куб. саж.  просят 50 коп.?

4)  Вырыта  прямоугольная  яма,  длиной  в   10,  шириной  в 3¹/₂ саж. и вместимостью 175 куб. саж.; определить глубину ямы?

5)   Один шар имеет радиус в 2 верш., а другой в ³/₄ арш.; во сколько раз поверхн. и объем второго больше, чем первого?

6)  Имеем глиняный шар 1 фута в диаметре; сколько можно сделать из него шариков по 1 дюйму в диаметре?

7)  Что стоит сделать   серебряный  шар  рад. 5 дюйм.,   если 1 куб. дюйм серебра весит 42 золотника,   золотник серебра стоит 30 к. и за работу просят по 5 коп. с золотника?

8)   Определить объем шара, если окружн.  большого круга = 44 дюйм.?

9)  Определить вместимость колодца,  которого глубина 10 сажен, а длина и ширина по 1¹/₂ арш.?

10)  Бассейн   имеет  вид   прямоугольнаго   параллелепипеда; длина его=6 саж., ширина=4³/₇ саж.,   вышина=5 фут.; сколько пудов воды вмещает бассейн?

11)  Сколько тысяч  кирпичей   нужно на постройку стены в 5 саж. длины, 2¹/₂ саж. вышины и 15 верш. толщины, если длина  кирпича=³/₈ арш., ширина=3 верш., вышина = 1¹/₂ верш.?

12)  Сколько будет стоить полоса меди, имеющая вид параллелепипеда, длиною в 1 саж., шириной и толщиной в 1 верш., если кубич. верш. меди весит 3 фунт., а пуд меди стоит 16 р.?

13)  Сколько нужно заплатить партии землекопов, которые вырыли пруд длиной и шириной в 10 саж., а глубиной в 3 саж., если за каждый куб. арш. надо платить по 5 коп.?

14)  Чему равно ребро куба, которого объем=64 куб. верш.? 343 куб. дюйм.? 125 куб. фут.? 216 куб. арш.?

15)  Кубический  ящик,   которого   каждая сторона = 4 квадр. арш., наполнен песком;   сколько пудов песку помещается в нем, если 1 куб. вершок весит 69 золотн.?

16)  Основание  призмы—20 кв. арш.,   а  высота её=10 верш.; основание  пирамиды  также  равно   20 кв. верш., а высота=3¹/₃ вершк.; во сколько раз объем призмы больше объема пирамиды?

17)  Две призмы имеют одинаковое основание, но высота одной втрое больше, чем другой; сравнить  их объемы?

18)  Цилиндр и конус имеют равные основания; высота цилиндра втрое меньше высоты конуса; сравнить их объемы?

19)   Объем шара=33¹¹/₂₁ куб. дюйм.; определить пов. его?

20)  Цилиндр   и   конус   имеют   равные   объемы   и   равные основания; сравнить их высоты?

21)  Шар,  радиуса   1   саж.,   сделан   из   шелковой материи, которой 1 квадр. фут весит золотник,   и  наполнен газом, который в 10 раз легче воздуха; 1 куб. фут   воздуха весит 8¹/₂ золотн. Определить вес шара?

22)  Определить поверхность и объем шара, если  окружность его большого круга=6²/₇ верш.?

23)  В сосуд, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда, которого длина=3 верш., ширина=4 верш., а вышина=6 верш., положено тело и потом налито столько воды, что тело все погрузилось в нее; высота воды=4 верш.; когда вынули тело, то высота воды сделалась=3 верш.; сколько куб.  верш. содержит тело?

24)    Сосуд.   наполненный  водою,   весит   7   фунт.,   а пустой 2 ф.; определить вместимость сосуда?

25)  Вырыт прямой горизонтальный ров длиною  в 24 саж., глубиною в 1 саж.;  верхняя  ширина рва=1,35   саж.,  а  нижняя=0,65 саж. Что стоит работа, если за кубич. саж. платится 1¹/₂ руб.?

26)  Воздух давит с силой 16,3 фун. на каждый квадр. дюйм поверхности тела; опредедить вес земной атмосферы, зная, что радиус земного шара=6000 верст.?

27)  Определить вес 125 куб. дюйм. воды? 28 куб. фут. воды?

28)  Определить вес 100 куб. дюйм. ртути,   которая   в 13,6 раз тяжелее воды?

29)  Ртуть налита до высоты 16 дюйм. в стекляную цилиндрическую трубку, внутренний диаметр которой = ¹/₂ дюйма; сколько фун. ртути помещается в трубке? Ртуть в 13,6 раз тяжелее воды.

30)  Сколько поместится масла, которое вдвое   легче воды, в цилиндрическом   сосуде,   которого   высота = 7   дюйм.,   а   рад. основ.=2 д.?

31)  Сколько куб. дюйм. в 256 фунт. воды?

32)  Сколько куб. фут. в 9400,32 пуд. ртути, которая в 13,6 раз тяжеле воды?

33)  Определить объем 539,136 пуд.  железа,  которое в 7,8 раз тяжелее воды?

34)  Кусок меди весит 10 фун.; определить объем его? Медь тяжеле воды в 8,9 раз.

35)  Сколько будет стоить золотой шар, которого рад.=3 фут., если золото в 19 раз тяжелее воды и фунт его стоит 280 руб.?

36)  Два цилиндра имеют одинаковые основания, но высота одного втрое больше другого; во сколько раз боковая поверх. и объем первого больше бок. пов. и объема второго?

37)  Два цилиндра имеют одинаковую высоту; но   радиус основания одного цилиндра вчетверо больше, чем другого; как относятся их боковыя поверхности и объемы?

38)  Обем прямоуг.  параллелепипеда=3   куб.   фут.  648 куб. дюйм.;   длина   его=2¹/₄   фут.,   ширина =1¹/₂ фут.;   определить высоту?

39)  В  цилиндр, которого  рад. основания=2  дюйм., налита вода до высоты 10 дюйм.; опустив в воду  кусок железа, нашли, что вода поднялась до высоты 12 дюйм.   Определить   вес куска? Железо в 7,8 раз тяжелее воды.

40)  Сосуд может вместить 34 пуда ртути; ртуть в 13,6 раз тяжеле воды; определить емкость сосуда?

41)  Имеем медный шар.   внутри  пустой; толщина  стенок его=2  дюйм.,  внутренний  радиус=7  дюйм.;   медь в 9¹/₂ раз тяжелее воды; определить вес этого шара?

42)  Куб весом 10 фун. сделан из вещества, которое вдвое тяжелее воды; определить ребро куба?

43)  Радиус   шара=1   дюйму;   во   сколько   раз   объем   его больше объема конуса, которого рад. основания  и высота равны рад. шара?

44)  Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит   жидкость   того   же   объема, как погруженное тело. Основываясь   на  этом,   определить, сколько будет весить в жидкости, которая в 2¹/₅ раза легче воды, цилиндр, сделанный из вещества, которое впятеро тяжелее воды, и имеющий высоту=10 дюйм., а рад. основ.=7 дюйм.?

45)  Сколько потеряет весу стекляный шар радиуса 1 дюйм.. погруженный в серную кислоту, которая в 1¹/₂ раза тяжеле воды?

46) Камень, погруженный в   воду,   потерял   в своем весе 3 фун. (см. зад. 44); сколько в нем куб. дюйм.?

47)  Тело в 8 ф. весу, будучи опущено в жидкость, которая в 1¹/₂ раза легче воды, весит 6 ф.; определить   объем тела?

48)  В сосуд, наполненный водою, погрузили кусок металла и нашли, что вытекло 1¹/₅ фун. воды; определить объем куска?

49)  Платиновый куб, будучи опущен в ртуть, теряет 4,32 ф.; ртуть тяжеле воды в 13¹/₂ раз; определить ребро куба?

50)  Бассейн имеет форму   прямоугольного  параллелепипеда; периметр основания его=60 фут., и одна из сторон основания в 5 раз больше другой; глубина его=12 фут.; сколько может вместить он ведер воды, если ведро=750 куб. дюйм.?

51)  Давление воздуха на   какую-нибудь   площадь=весу цилиндрического или призматического столба ртути, которого основание=данной площади, а высота=30 дюйм.;  определить  давление воздуха  на   1   кв.   дюйм?  на  1   кв.   фут.? Ртуть в 13,6 раз тяжеле воды.

52)  Памятник состоит из гранитной плиты,   имеющей вид прямоугольного параллелепипеда; основание его есть квадрат площади 9 квад. фут., а высота=4 дюйм.; на плите   поставлена чугунная цилиндрическая колонна, радиус   основания  которой = ¹/₄ арш., а высота=2¹/₂ арш.; на колонне находится чугунный шар радиуса 3 дюйм.   Определить   вес   памятника,   зная, что чугун в 8, а гранит в 3,2 раза тяжеле воды?

53)  Сколько пойдет железа на оковку 10 колес, 2   аршина в диаметре и 2 верш. ширины, если толщина оковки должна быть 1 верш.? Железо тяжеле воды в 8 раз.

54)  Котел   имеет   форму   полушара;  диаметр  его=2 арш.; определить его вместимость в ведрах? Ведро=750 куб. дюйм.

55)  Куб величиной в 1 куб. арш. распилен на кубики, которых ребро=2 верш.; из   каждого   кубика   сделан шарик, которого диаметр на ¹/₂ дюйма короче ребра куба; сколько весит каждый шарик, если вес куба=8 пудам?

56)   Сколько пудов воздуха помещается в комнате. которой длина 9, ширина 6, вышина 4 арш.? Куб. фут воздуха весит 8¹/₂ зол.

57)  Вычислить объем конуса, происходящего   от   обращения равнобедренного прямоугольн. тр-ка около его катета. который=1 футу?

58) Вычислить объем тела. происходящаго от обращения равнобедренного прямоугольнаго тр-ка около его гипотенузы=14 дюйм.?

59)  Поверх. шара=616 верш.; определить объем его?

60)  Воздух содержит 21% кислорода   (по   объему); сколько кислорода помещается в комнате, имеющей в длину 8 саж., в ширину 6 саж., в вышину 3 саж. 2 арш.?

61)  Определить   объем   шара,   в   котором площ. большого круга=⁷⁷/₇₂ кв. фут.?

62)  Прямоугольник, которого одна сторона вдвое больше другой, обращается сперва около основания, потом   около высоты;  сравнить объемы цилиндров, происходящих при этом?

63)   Сравнить объем шара с объемом описанного около него равностороннего цилиндра?

64)  Ребро куба=15 дюйм.: на сколько кубов, которых ребро=3 дюйм., можно разрезать данный куб?

65)  На  шоссе  шириною  в   10 сажен нужно на протяжении трех верст насыпать слой щебня толщиною в 12 вершков; сколько пойдет на это куб. саж. щебня?

66)  Цилиндрический   сосуд,   которого   высота=1 арш., а диаметр основания=3   дюйм., наполнен водою, воду эту вылили из него в другой соеуд, также цилиндрический, но основание которого=12⁴/₇ кв. дюйм. До какой высоты поднялась вода в сосуде?

67)  Цилиндр, которого высота=²/₃ верш., вдвое больше шара радиуса 1³/₄ дюйм.; определить радиус основания цилиндра?

68) Сарай имеет 20 арш. в длину, 6 саж. в ширину, 4 саж. в вышину; сколько сажен трехчетвертных дров (т. е. по 12 .верш. длины) может поместиться в этом сарае?

69) Чтоб обнести оградой сад, предполагается  вывести 180 каменных столбов, имеющих вид прямоугольных параллелепипедов, в основании которых квадраты в 1 кв. арш., а высота=1 саж.; на одну кубическую сажень идет 3500 кирпичей: тысяча кирпича стоит 24 руб.; за кладку просят по 4 руб с кубической сажени. Что стоит вывести эти столбы?

70)  Сколько будет стоить серебряный цилиндр, которого высота=¹⁸/₅ диаметра основания, а окружность основания=9³/₇ дюйм.? Серебро в 10 раз тяжеле воды и стоит 35 руб. за фунт.

71)  Около оенования конуса описан квадрат, площадь которого=49 кв. дюйм.; высота  конуса=9   дюйм.;   определить   объем его?

72)  Обем   конуса=616   куб.   дюйм.;   высота его=12 дюйм.; определить рад.  основания?

73)  В куб, которого ребро=1 дюйму, вложен шар, касающийся всех сторон куба; на сколько объем куба   больше об. шара?

74)  Медный шар рад. 1 верш.   надо   перелить   в цилиндр, который бы имел ⁷/₁₂ дюйм. высоты; определить рад. основания цилиндра?

75) Медный шар весит 517,44 фун.; медь в 9 раз тяжеле воды; определить объем шара?

76)  Медный цилиндр, имеющий  в   окружности   12⁴/₇  дюйм  весит 31,68 фун.; определить высоту его? Медь в 9  раз тяжелее воды.

77)  Цилиндрический сосуд,   окружность   которого=22   дюйм., налит  водою  до   высоты   10   дюйм.; в воду положили кусок железа и заметили, что вода поднялась на 2 дюйма; определить вес куска, зная, что железо в 8 раз тяжелее воды?

78)  Закром вмещает 34,72875 четвертей хлеба; он имеет вид прямоугольнаго параллелепипеда, в основании  которого 1 квадр. сажень; определить высоту закрома, зная, что четверик= 1600 куб. дюйм.?

79)  В цилиндрическую трубку налито 35,904 фун. ртути; высота ртути=21 дюйму;   ртуть  в 13,6 раз  тяжелее воды; определить внутренний диаметр трубки?

80)  Из свинцового шара рад. 5 дюйм. сколько можно вылить пуль по ¹/₂  дюйма   в   диаметре,   если  при   литье   5% свинца. угорает?

81)  Вес  железнаго  конуса=18,48   фун.,   высота=18 дюйм.; найти радиус основания, зная, что железо в 8 раз тяжелее воды?

82)  Что будет стоить кирпичная стена в 12 саж. длины, 2³/₄ саж. вышины и ³/₄ арш. толщины, если длина кирпича=6 вершк., ширина 3 вер., вышина 1¹/₂ верш.,   тысяча  кирпичей   стоит 25 руб., а за известь, нужную для  кладки,  и  за работу нужно заплатить по 5 руб. с тысячи кирпичей?

83)  Обем куба =27 куб. верш.; определить ребро  его?

84)   Поверхность   куба=0,84375   кв.   ар.;   определить  объем в куб. верш.?

85)  Определить объем пераллелеп., которого высота=10 дюйм., а основание есть ромб, имеющий диагонали в 8 и 5 дюйм.?

86)    Обем   прямоуг.   параллелеп.=180   куб. дюйм.;   высота его =5 дюйм., а в основании его квадрат;   определить   поверх. параллелеп.?

87)   Основание   параллелеп.   есть   прямоугольник,   периметр которого=14 фут., а разность   сторон=3   фут.;   высота параллелеп.=0,8   фут.;   определить   поверхность   куба, равновеликого данному параллелеп.?

88)  Поверх.   шара=1   кв.   ф.   10   кв. дюйм.; определить объем его?

89)  Если пересечь конус плоскостью, проходящею через его ось, то получим тр-к,   которого   основ.=14,   а выс.=12 фут.; определить объем конуса?

90)  Определить   объем   тела,   происходящего от обращения  равнобедренного прямоуг. треуг. около его гипотенузы=14   фут.?

91)  Определить сторону квадрата, равновеликого бок. поверхн. цилиндра, которого высота = ⁹/₁₁  фута, а рад. основ.=7 фут.?

92)  Определить поверхность куба, равновеликого конусу, который в сечении, сделанном по направлению его оси, дает треугольник, имеющий основание 14 верш., а высоту ¹²/₇₇ верш.?

93)  В куб, которого ребро=3,5 дюйм., вставлен цилиндр, касающийся всех сторон куба; сколько фунтов воды поместитея  в промежутке между кубом и цилиндром?

94)    Ребро   одного   куба=3,   другого   4,   третьего   5   дюйм.; определить  ребро  такого  куба,  которого объем=сумме обеъмов трех первых кубов?

95)  Определить объем призмы, которой  высота=2²/₁₁   дюйм., а основанием служит прямоуг. тр-к,  имеющий   катеты 2,444... и 11,25 дюйм.?

96)  Определить площ. основ.   пирамиды,  которой высота=0,9  фут., а объем=15³/₄ куб. фут.?

97)  Определить измерения железного прямоуг. параллелепипеда, которого основание есть квадрат=49 кв. дюйм., а вес=2 пуд. 19²⁴/₂₅ фунт.? Железо тяжелее воды в 8 раз.

98)  Опроделить ребро куба, равновеликого   прямоуг.   параллелепипеду, которого измерения 6, 4 и 9 дюйм.?

99) Пирамида из меди стоит 241 руб. 92 коп.; её основание  есть   прямоуг.   тр-к,   которого   катет=1   ф., а уг.=45°; медь в 9 раз тяжелее воды; фунт меди (с работой) стоит 50 коп.; определить высоту пирамиды?

100) Объем   цилин.=1   куб.   ф.;   рад.   основ.=¹/₂ ф. ; определить высоту?

101) Объем цилиндра=11   куб. фут.; высота его=14 фут.; определить поверхность его?

102)  Площ. основ. конуса=154   кв.   дюйм.;   а площ.   сечения, сделанного по оси, равна 231   квад.   дюйм.;   определить объем конуса?

103)    Прямоуг.   тр-к.   которого   стороны   21, 28 и 35 дюйм., обращается сперва около меньшего, потом около большего катета; определить отношение бок. поверхностей и объемов полученных конусов?

104)  Вся поверх. цилинц.=392 кв. фут., а   боковая поверх.= 84 кв. ф.; определить объем цнлиндра?

105)  Из кубическаго куска меди, весом в 123,48 фун., выточен возможно больший шар; определить вес этого шара?

106)  Определить поверхность куба, равновеликого конусу, если площ. сечения конуса по оси равна 1,0909... кв. верш., а основание  этого сечения=длине окружности,   которой  радиус=⁴⁹/₂₂ верш.?

107)  Из цилиндра, которого высота=диам. основ.=21 дюйм., выточен возможно больший шар; определить отношение его веса к весу цилиндра?

108)  Конус,   которого   диам.   основ.=9   дюйм.,   а  высота в 1¹/₂ раза больше, равновелик  цилиндру,  диам.   основания которого=5 дюйм.; определить высоту цилиндра?

109)  Через средину высоты пирамиды проведена  плоскость=основанию; во сколько раз отрезанная пирамида меньше целой?

110)  Основ. пирам. есть прям-к, которого перим.=26, а разность сторон=5 дюйм.; объем  пирам.=81   куб. д.;   определить. высоту её?

111)  Если пересечь конус   плоскостью   по оси,  то  получим. прямоуг. тр-к, которого   гипотенуза= 1¹/₂  арш.;   определить в куб. дюйм. объем  конуса?

112)  Железный шар, катясь по прямой линии, обернулся 168 раз на расстоянии 88 саж.;  определить вес его? Железо тяжелее воды в 8 раз.

113) Поверхность куба=294   кв. дюйм.;  определить пов. в объем наибольшего цилиндра и наибольшего шара, которые могут быть выточены из такого куба?

114)  У медника были три кубические куска  меди;  объем одного=27 куб. дюйм., ребро  другого=4   дюйм., третий  весил. 45 фунт.; из всех этих кусков надо вылить один куб; какой величины форму взять для этого? Медь тяжеле воды в 9 раз.

115) В ящик с водою, которого длина 3, ширина 2,5 фут.,погрузили камень, вследствие чего вода в ящике поднялась на 4 дюйм. в совершенно покрыла камень.Определить объем камня в куб. фут.?

116)  Определить объем куба, которого поверхн.=384?

117)  В цилиндрический сосуд, диаметр основания которого  =¹/₄ арш., налита вода до высоты   20   дюйм.; в воду опустили сплошной медный шар рад. 1³/₄ дюйм.; на  какой высоте стала, вода в сосуде?

118)  Сарай покрыт двускатной крышею, ограниченной с боков равными тр-ками, плоскости   которых   параллельны между собою; на чердаке сарая устроен сеновал.   Длина сеновала  =стольким сажен., сколько сторон имеет мн-к, сумма внутр. углов которого=20 прям.; основание каждаго тр-ка=рад. круга, которого окружн.=132 фут.; высота каждого тр-ка=ребру куба, которого поверхность=13¹/₂ кв. арш.   Сколько  пуд.   сена поместится на сеновале, если пуд сена занимает 14 куб. фут.?

119) Около конуса описана правильная четырехугольная пирамида (т.-е. вершина пирамиды находится в вершине конуса, а основание есть квадрат, описанный около основ. коя.); площ. основ. пирам.=4 кв. дюйм., а высота=2,333... фут.; определить ребро куба, равновеликого разности объемов пирамиды и конуса?

ОТВЕТЫ