Г Л А В А I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§ 5. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. ДЕЙСТВИЯ НАД ОТРЕЗКАМИ.
1. Равные и неравные отрезки.
Отрезки называются равными, если они могут быть наложены один на другой так, что концы их совпадут.
Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (черт. 19). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, и отрезок АВ направим по отрезку CD. Если точка В совпадаете точкой D, то отрезки АВ и CD равны; АВ = CD.
Сравним два отрезка КО и ЕМ (черт. 20). 
Наложим отрезок КО на отрезок ЕМ так, чтобы точки К и Е совпали. Отрезок КО направим по отрезку ЕМ. Если точка О окажется где-нибудь между точками Е и М, то говорят, что отрезок ЕМ больше отрезка КО; отрезок КО меньше отрезка ЕМ.
Записывается это тaк: ЕМ > КО, КО < ЕМ.
2. Построение отрезка, равного данному, с помощью циркуля.
Построение отрезка, равного данному отрезку АВ (черт. 21), выполняется с помощью циркуля таким образом:
одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую — на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ.
3. Сложение и вычитание отрезков.
Чтобы найти сумму двух отрезков, например АВ и СD (черт. 22, а), надо взять прямую линию и на ней некоторую точку, например точку N (черт. 22, б), затем с помощью циркуля отложить на этой прямой от точки N сначала отрезок NP, равный отрезку АВ, а потом от его конца в том же направлении отложить отрезок РМ, равный отрезку СD. Отрезок NM будет называться суммой отрезков АВ и СD.
Это записывают так:
NM = АВ + СD.
Таким же образом находится сумма нескольких отрезков (черт. 23)
MN = АВ + СD + ЕF.
При сложении отрезков, как и в арифметике при сложении чисел, выполняются законы: переместительный и сочетательный.
АВ + СD = СD + АВ;
(АВ + СD) + ЕF =АВ + (СD + ЕF).
Чтобы найти разность двух отрезков АВ и СD (черт. 24),
надо на большем отрезке (АВ) от конца его, например точки А, отложить меньший отрезок (СD). Оставшаяся часть (КB) большего отрезка и будет разностью этих отрезков:
АВ — СD = КВ.
4. Умножение и деление отрезка на целое число.
а) Умножить отрезок AB на целое число, например на 5, это значит, что отрезок АВ надо взять слагаемым 5 раз (черт. 25):
5АВ = МN.
Отрезок МN есть произведение отрезка АВ на число 5.
б) На чертеже 25 отрезок. МN составлен из пяти равных отрезков, т. е. отрезок МN разделён на пять равных частей. Каждый из них составляет 1/5 часть отрезка МN.
в) Чтобы разделить отрезок на равные части с помощью циркуля, поступают таким образом. Например, если нужно разделить отрезок на две равные части, то циркуль раздвигают на глаз так, чтобы раствор циркуля составлял примерно половину отрезка. Затем на данном отрезке от его конца последовательно один за другим откладывают этим раствором циркуля два отрезка. Если полученная сумма отрезков будет меньше данного отрезка, тo раствор циркуля увеличивают; если сумма окажется больше данного отрезка, то раствор циркуля уменьшают. Так, постепенно исправляя ошибку, можно отыскать довольно точнo половину отрезка (черт. 26).
Таким же образом выполняется приближённое деление отрезка на 3, 4, 5 и т. д. равных частей. Только в этом случае надо брать на глаз 1/3 ; 1/4; 1/5 ... отрезка и откладывать взятый отрезок 3, 4, 5... раз, смотря по тому, на сколько равных частей надо разделить данный отрезок.