Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§ 13. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ.

1. Центральный угол.

Центральным углом называется угол, образованный двумя радиусами одного и того же круга.

/  АОВ — центральный (черт. 90). Дуга АВ называется соответствующей центральному углу АОВ.
 Полному углу соответствует вся окружность.
 Развёрнутому углу соответствует дуга, равная половине окружности.
 Прямому углу соответствует дуга, равная ¹/₄ части   окружности.

Теорема. Если в одном и том же круге два центральных угла равны, то равны, соответствующие им дуги.

Докажем это. Возьмём окружность, построим в ней два равных центральных угла (черт. 91). Пусть /  АОВ = /  СОD. Вращая /  AОВ вокруг центра О, можно совместить его с углом СОD, так как эти углы равны между собой (такое условие принято нами). Если же углы АОВ и СОD совместятся, то в силу равенства радиусов совместятся и концы дуг АВ и СD. (Точка А совместится с точкой D, и точка В совместится с точкой С.) Следовательно, совместятся и сами дуги АВ и СD, так как все точки этих дуг находятся на одинаковом расстоянии от центра, т. е. АВ = СD.

Докажем обратную теорему.

Теорема. Если в одном и том же круге две дуги равны, то равны и соответствующие им центральные углы.

В самом деле, так как дуга АВ равна дуге СD (черт. 91), то дуга АВ, скользя по окружности, может совместиться с дугой СD, при этом точки А и В совместятся соответственно с точками D и С. Но в этом случае радиус ОА совместится с радиусом ОD, а радиус ОВ совместится с радиусом ОС, т. е. угол АОВ равен углу СОD.

Эти две теоремы справедливы и для равных кругов.

Вторая теорема называется обратной по отношению к первой потому, что в первой теореме доказывается равенство дуг, если равны центральные углы, во второй же теореме, наоборот, доказывается равенство центральных углов, если равны дуги.

2. Измерение углов. Градусы дуги и угла.

Сравнивая углы по величине, мы отмечали, что углы могут быть равными или неравными. Угол может быть равен прямому, больше прямого, меньше прямого. Однако это даёт нам лишь приблизительное представление о величине того или иного угла. Острые углы, как и тупые, могут значительно отличаться один от другого.

Чтобы более точно определять величину углов, применяются особые меры дуг и углов.

Для измерения дуг служат дуговые градусы, а для измерения углов — угловые.

Дуговым градусом, или градусом дуги, называется ¹/₃₆₀ часть окружности
(черт. 92).

Градус дуги в свою очередь делится на 60 равных частей, называемых дуговыми  минутами,  а минута делится на 60 равных частей,  называемых   дуговыми   секундами.

Если дуга составляет, например, ²⁵/₃₆₀  окружности, то говорят: дуга содержит 25 градусов. Обозначается это так: 25°. Если дуга содержит 25 градусов 40 минут и 15 секунд, то это записывается так: 25°40'15".

Всякому градусу дуги соответствует центральный  угол   (черт. 92), который    называется    угловым градусом. Поэтому между числом угловых градусов центрального угла  и   числом  дуговых  градусов соответствующей ему дуги существует   такое   соответствие: сколько дуговых  градусов содержит дуга какого-нибудь центрального  угла,   столько   же  угловых градусов содержит и соответствующий этой дуге центральный угол,   и,   наоборот, сколько угловых  градусов содержит центральный угол, столько же дуговых  градусов содержит дуга этого  центрального угла.   Принято  говорить,   что центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

На чертеже 93 изображены два центральных угла.

Дуга первого содержит 3°, столько же угловых градусов содержит и центральный угол. Второй центральный угол содержит 8°, столько же дуговых градусов содержит и соответствующая ему дуга.

Такое соответствие между числом угловых градусов центрального угла и числом дуговых градусов соответствующей ему дуги даёт возможность измерять углы и строить их.

Угловой градус составлят  ¹/₃₆₀ часть полного угла. Так как полные углы равны между собой, то и угловые градусы равны между собой.

Развёрнутый угол равен 180 угловым градусам, прямой угол равен 90 угловым градусам. Иначе: угловой градус составляет ¹/₁₈₀  часть развернутого угла, или ¹/₉₀ часть прямого угла.

Угловой градус, как и дуговой, делится на 60 равных частей, называемых минутами, которые в свою очередь тоже делятся на 60 равных частей, называемых секундами.

Диаметр Луны виден нами приблизительно под углом в 30'. Человеческий глаз может видеть только те предметы, которые находятся под углом зрения больше 1'. Поэтому горошина с расстояния в 1 км не видна человеческим глазом, так как угол зрения в этом случае составляет меньше 1".

Все угловые градусы равны между собой, но этого нельзя сказать о дуговых градусах (черт. 94). Длина дугового градуса изменяется в зависимости от длины радиуса.

Чем больше радиус окружности, тем больше длина дугового градуса. Так, например, длина дугового градуса земного меридиана (или экватора) приблизительно равна 110 км.

Дуговые градусы равны только в одной окружности и в равных окружностях.

3. Транспортир.

Для измерения углов, а также для построения углов существует прибор, называемый транспортиром (черт. 95).

Он состоит из линейки, к которой присоединена полуокружность. Центр полуокружности отмечен небольшим вырезом или штрихом на диаметре полуокружности.

Дуга полуокружности разделена на градусы от 0 до 180°.

4. Измерение углов с помощью транспортира.

Измерение углов с помощью транспортира производится следующим образом.

Пусть нам нужно измерить /  ABC (черт. 96).

Сделаем этот угол центральным. Для этого совместим центр транспортира с вершиной /  ABC (с точкой В). Направим диаметр транспортира по одной стороне /  ABC
(по ВС), тогда другая сторона угла покажет, сколько градусов содержит дуга измеряемого угла. В данном случае она содержит 52°, следовательно, /  ABC будет равен 52 угловым градусам. На чертеже 97 показано измерение тупого угла ВОС. Угол ВОС равен 120°. Записывается это так:  /  ABC = 52°,  /  BOC = 120°.

5. Построение углов с помощью транспортира.

Пусть требуется построить угол в 50° по данной его вершине О и поданной стороне   ОВ. Совместим центр транспортира с точкой О. Таким образом, угол, который мы строим, делаем центральным.

Направим диаметр транспортира по прямой ОВ (черт. 98) и отсчитаем по дуге транспортира справа от нуля 50°. Поставим против 50° точку С и соединим её с точкой О (вершиной угла). Мы получим искомый  /  COВ, равный 50°.

Если нам прямая не дана и не указана точка, которая должна быть вершиной угла, а просто сказано: построить угол в 125°, то мы сначала проведём произвольную прямую и где-нибудь на ней возьмём точку О, которую примем за вершину угла, и таким же образом построим требуемый угол.

6. Приближённое деление угла на равные части.

Можно разделить угол на несколько равных частей с помощью транспортира. Для этого надо измерить угол, число градусов угла разделить на данное число частей и построить требуемые углы.

Упражнения.

1. Какой угол составляют минутная и часовая стрелки в 1 час пополудни (в 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 часов)?

2. Начертить прямой угол с помощью транспортира. Провести в нём из его вершины луч. Измерить отдельно /  1 и /  2, найти их сумму. Вычислить процент погрешности по отношению к прямому углу (90°).

3. Измерить углы фигуры, помещённой на чертеже 99, и найти их сумму.

4. Измерить углы фигуры, помещённой на чертеже 100, и найти их сумму.

5. Построить несколько углов и разделить их на 2, 3, 4, 5 равных частей с помощью транспортира.

7. Астролябия.

Для измерения и построения углов на местности служат специальные приборы, называемые угломерами. Простейшим из этих приборов является астролябия, её упрощённая схема дана на чертеже 101.

Основной частью астролябии служит круг (лимб) с делениями от 0 до 360°. На ось, проходящую через центр круга, насажена металлическая или деревянная линейка так, что она может вращаться около этой оси. На концах линейки находятся два диоптра, которые используются для установки линейки в определённом положении. Один из диоптров, называемый глазным диоптром, имеет узкую вертикальную щель. В другом диоптре щель более широкая, в ней установлен вертикально волосок или тонкая проволока. Этот диоптр называется предметным. Линейка вместе с диоптрами называется алидадой. Наружные края алидады скошены, и на них имеются указатели (штрихи или выступы) для отсчёта делений на круге.
 Весь прибор устанавливается на треножнике.

8. Уровень.

Для того чтобы круг астролябии (лимб) принял горизонтальное положение, что очень важно для точности при измерении углов, употребляется особый прибор, называемый уровнем (черт. 102).

Основной частью уровня является стеклянная трубка, запаянная с обоих концов. Трубка эта заполняется спиртом или эфиром; причём в трубке оставляется небольшой пузырёк воздуха. Если положить уровень на горизонтальную плоскость, то пузырёк воздуха будет находиться в середине трубки; если же плоскость не будет горизонтальной, то пузырёк воздуха переместится к одному из концов трубки. Уровень устанавливается на лимбе по крайней мере в двух различных направлениях. Таким образом, наблюдая за положением пузырька воздуха, можно установить, будет ли данная плоскость горизонтальной или она будет иметь уклон в ту или другую сторону.

В целях большей прочности и удобства пользования прибором трубка уровня заключается в металлическую оправу, в которой оставляется небольшое оконце для наблюдения за положением пузырька воздуха. Уровень укрепляется на металлической пластинке. Иногда на поверхности круга астролябии закрепляются неподвижно два уровня в различных направленияx.

Применяется уровень и как самостоятельный прибор, с помощью которого можно проверить горизонтальность любой плоскости или прямой  линии.

При выполнении строительных работ вместо уровня нередко применяется более упрощённый прибор, называемый ватерпасом (черт. 103). Он состоит из двух деревянных планок, соединённых под прямым углом. На одной из планок подвешен шнур с грузиком (отвес).

В случае горизонтального положения проверяемой плоскости-отвес совпадает с направлением планки, если проверяемая плоскость не горизонтальна, отвес уклоняется от этого направления (черт. 104).

9. Измерение углов при помощи астролябии.

Предположим, нужно измерить на местности угол АСВ (черт. 105).

Вершину угла (точку С) отмечают колышком длиной в 25—30 см, треножник с астролябией устанавливают над точкой С так, чтобы отвес, подвешенный к центру круга, находился как раз над выступающим из земли колышком, а плоскость круга астролябии была горизонтальной.

После этого алидаду устанавливают так, чтобы её положение совпало с одним из направлений СА или СВ, например с направлением СА. Вначале алидаду устанавливают на глаз, а затем, смотря в узкую щель глазного диоптра, перемещают алидаду до тех пор, пока волосок предметного диоптра не закроет предмет А. После этого отмечают деление круга, против которого находится указатель одного из двух диоптров.

Затем алидаду устанавливают по направлению СВ и отмечают деление круга, против которого находится указатель того же диоптра.

Разность отсчётов и даст угол между направлениями СВ и СА, т. е. угол АСВ (черт. 106).
 Если отсчёты на A и В окажутся по разные стороны нуля, то величину угла можно определить по противоположным меткам алидады.
 Описанный выше прибор даёт небольшую точность.

С целью повышения Точности измерений используются более совершенные приборы. На чертеже 107 показан один из таких приборов (теодолит).

Упражнения.

1. При измерении угла с помощью астролябии получили отсчёты 25° и 75°. Чему равен измеряемый угол?

2. При измерении угла с помощью астролябии получили отсчёты 35° и 340°. Чему равен измеряемый угол?

Указание.  Для решения задачи рекомендуем сделать чертёж.