ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 28. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.

До сих пор при решении задач на построение мы пользовались циркулем, линейкой, чертёжным треугольником и транспортиром.

Решим теперь ряд задач на построение с помощью только двух инструментов — циркуля и линейки.

Задача  1.  Разделить данный отрезок пополам.

Дан отрезок АВ, требуется разделить его пополам.

Решение. Радиусом, большим половины отрезка АВ, опишем из точек А и В, как из центров, пересекающиеся дуги (черт. 161). Через точки пересечения этих дуг проведём прямую СD, которая пересечёт отрезок АВ в некоторой точке К и разделит его этой точкой пополам:   АК = КВ.

Докажем это. Соединим точки А и В c точками С и D. /\ САD = /\ СВD, так как по построению AС = СВ, АD = ВD, СD — общая сторона.

Из равенства этих треугольников следует, что /  АСК = /  ВСК, т. е. СК является биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника АСВ. А биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и его медианой, т. е. прямая СD pазделила отрезок АВ пополам.

Задача 2.  Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку О, находящуюся на этой прямой.

Дана прямая АВ и точка О, лежащая на этой прямой. Требуется провести перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О.

Решение. Отложим на прямой АВ от точки О два равных отрезка ОМ и ОN
(черт. 162). Из точек М и N, как из центров, одними тем же радиусом, большим ОМ, опишем две дуги. Точку их пересечения К соединим с точкой О. КО — медиана в равнобедренном треугольнике МКN, следовательно, КO_|_А В (§ 18).

Задача 3.  Провести перпендикуляр к данной  прямой АВ через точку С, находящуюся вне этой прямой.

Даны прямая АВ и точка С вне этой прямой, требуется прости перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку С.

Решение. Из точки С, как из центра, опишем дугу таким диусом, чтобы она пересекла прямую АВ, например, в точках М и N (черт. 163). Из точек М и N. как из центров, одним и тем же радиусом, большим половины МN, опишем дуги. Toчку их пересечения Е соединим с точкой С и с точками М и N. Треугольники СМЕ и СNЕ равны по трём сторонам. Значит, /  1 = /  2 и СЕ является биссектрисой угла С в равнобедренном треугольнике МСN, а следовательно, и перпендикуляром к прямой АВ (§ 18).