ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 29. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ И АКСИОМЕ.

1. Понятие о теореме.

В предыдущих параграфах путём рассуждений мы установили, или, как говорят,  доказали, ряд  свойств   различных геометрических фигур. Например:

Сумма двух смежных углов равна 2d (§ 11).
 Вертикальные углы равны между собой (§ 11).
 Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги (§ 13).

Такие   математические  предложения, в правильности   которых мы убеждаемся путём   рассуждений   (доказательств),   мы называли теоремами. Каждая теорема состоит из двух частей: из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слова «если», а заключение — со слова «то». Условие — то, что дано; заключение — то, что надо доказать. Например:

Последние две теоремы (4-я и 5-я) известны нам из арифметики. Значит, и там мы уже встречались с теоремами.

2. Теоремы прямая и обратная.

Если в теореме условие сделать заключением, а заключение — условием, то первая теорема будет называться прямой, а вторая —обратной, а обе теоремы вместе — взаимно обратными.

Если верна прямая теорема, то это ещё не значит, что верна и обратная ей теорема.

В приведённых примерах для 1-й и 2-й теорем обратные теоремы верны Что же касается теорем 3-й, 4-й и 5-й, то здесь обратные теоремы  не верны.

В самом деле, можно иметь два угла, сумма которых равна 2d, но они могут быть не смежными.

Если есть два равных угла, то это не значит ещё, что они обязательно вертикальные.

Сумма двух или нескольких слагаемых может делиться, например, на 10, но это не значит, что каждое из этих слагаемых делится на 10.

Например, сумма 71 и 19 делится на 10 (90 : 10 = 9), но ни 71, ни 19 на 10 не делятся.

Отсюда следует сделать такой вывод: если доказана справедливость какой-нибудь теоремы, то это ещё не значит, что справедлива и обратная теорема. Она также нуждается в доказательстве, как и прямая теорема.

3. Понятие об аксиоме.

Некоторые свойства геометрических фигур принимают без доказательств. Например:

Через всякие две точки можно провести прямую линию и притом только одну (§ 3).

Отрезок прямой короче всякой другой линии, соединяющей его концы (§ 6).

Такие математические предложения, которые принимаются без доказательств, называются аксиомами.

Упражнение.

Сформулировать две теоремы, обратные теоремам:

1) «Если треугольник равнобедренный, то биссектриса угла при вершине совпадает с его высотой»;

2) «Если треугольник равнобедренный, то медиана, проведённая к основанию, совпадает с его высотой», и доказать их справедливость.