ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 31.ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ К ПРЯМОЙ.

1. Проекция отрезка на прямую.

Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр.

Отрезок СО — перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (черт. 168).

Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

Отрезок ВС — наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (черт. 169).

Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый  между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.

Отрезок А'В' — проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ' — также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К' (черт. 170).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС (черт. 171) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ — одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В  /\ МАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника (§ 30). Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (черт. 171) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той   же   точки, равны,   то   равны  и  их  проекции .

Пусть ВА и ВС — наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (черт. 172), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что  равны  и их проекции.

Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО — высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника (§ 18).

Поэтому АО = ОС.

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Пусть АС и СВ — наклонные к прямой АВ (черт. 173). СО_|_ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО — общий катет этих треугольников. Следовательно,  /\ AOС =  /\ ВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.

Теорема 4.  Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из  них больше, которая  имеет большую проекцию на эту прямую.

Пусть АВ и ВС — наклонные к прямой АО; ВО_|_АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (черт. 174), а поэтому / АСВ > / СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (черт. 175). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Пусть КС и ВС — наклонные к прямой КВ (черт. 176), СО_|_КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:

1) КО < ОВ,
2) КО = ОВ,
3) КО > ОВ.

КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная  КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.

Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.

Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что
КО > ОВ.