ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 39. СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.

1. Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (черт. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что

/ 1 + / 2 + / 3 = 2d.

Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.

При вершине В мы получили три угла: / 4, / 2 и / 5.    Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 2d:

/ 4 + / 2 + / 5 = 2d.

Но / 4 = / 1 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.

/ 5 = / 3 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.

Значит, / 4 и / 5 можно заменить равными им / 1 и / 3.

Следовательно, / 1 + / 2 + / 3 = 2d или 180°. Теорема доказана.

2. Свойство внешнего угла треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В самом деле, в треугольнике АВС (черт. 209)  / 1 + / 2 = 2d — / 3, но и / ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с / 1 и /  2, также равен 2d — / 3.

Таким образом:

/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ВСD = 2d — / 3.

Следовательно, / 1 + / 2 = / ВСD.

Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника (§ 26), в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.

3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.

Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (черт. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.

Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ (§ 27). Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник — равносторонний.

Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.

Упражнения.

1. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника?

2. Начертить треугольник. С помощью транспортира измерить его углы и найти их сумму.
 Вычислить, какой процент по отношению к 180° составляет допущенная погрешность при измерении углов треугольника.

3. Доказать, что биссектрисы двух внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными и секущей, составляют прямой угол.

4. Доказать, что прямоугольные треугольники равны, если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника.

5. Построить прямоугольный треугольник:

а) по катету и прилежащему острому углу;
 б) по катету и противолежащему острому углу.

6. Доказать, что если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.