ГЛАВА IV.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 50. СВОЙСТВА МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть в треугольнике АBС (черт. 256) АD и ВЕ — медианы, пересекающиеся в точке О. Докажем, что и отрезок NС, проходящий через третью вершину этого треугольника и точку О, будет также медианой, т. е.    AN  = NВ.

Для доказательства через точку Е проведём ЕF || АD, тогда СF = FD. Разделим отрезок ВD пополам; пусть DК = КВ. Получим п₁ = п₂ = п₃ = п₄, как половины равных отрезков СD и ВD.

Через точку Kпроведём KS || АD; тогда m₁ = m₂ = m₃, так как KS || ОD || ЕF и
п₄ = п₃ = п₂ .

Через точки S и Е проведём SP || ОN и EQ || ОN, тогда l₄ = l₃ = l₂, так как SР || ОN || ЕQ и m₃ = m₂ = m₁. Кроме того, l₂ = l₁, так как AE = ЕС и ЕQ || СN.
Отсюда l₄ = l₃ = l₂= l₁, но  l₄ + l₃ = NВ, а l₂+ l₁ = NA.

Следовательно, AN = NВ, т. е. NС является так же медианой треугольника AВС.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, мы видим (черт. 256), что отрезок ОЕ составляет ¹/₃ ВЕ. Аналогично можно доказать, что отрезок ON составляет ¹/₃ СN и отрезок ОD составляет ¹/₃ АD. Таким образом, точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.