ГЛАВА V.

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА¹.

__________
¹Пифагор — греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564—473 гг. до нашей эры).
_________

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (черт. 267).

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих  квадратов соответственно   равны  а², b² и с². Докажем, что с² = а² + b².

Построим два квадрата МКОР и М'К'О'Р' (черт. 268, 269), приняв за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АBС.

Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 268 и 269, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а² и b² и четыре равных прямоугольных   треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' разбился на четырёхугольник (он на чертеже 269 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АBС. Заштрихованный четырёхугольник — квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АBС, т. е. с), а углы — прямые /  1 + /  2 = 90°, откуда /   3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 268 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырёх равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 269 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырёх таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу  с² = а² + b², где с — гипотенуза, а и b — катеты прямоугольного треугольника.

Теорему  Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Из формулы с² = а² + b² можно получить такие формулы:

а²= с² — b²;
b² = с² — а².

Этими формулами можно пользоваться для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум данным его сторонам.
Например:

а) если даны катеты а = 4 см, b=3 см, то можно найти гипотенузу (с):
с² = а² + b² , т. е. с²  = 4² + 3²; с² = 25, откуда с = √25  =5 (см);

б) если даны гипотенуза с = 17 см и катет а = 8 см, то можно найти другой катет (b):

b² = с² — а², т. е.     b² = 17²  — 8² ; b² = 225, откуда b = √225  = 15 (см).

Следствие: Если в двух прямоугольных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ гипотенузы с и с₁ равны, а катет b треугольника АBС больше катета b₁ треугольника А₁В₁C₁,
то катет а треугольника АВС меньше катета а₁ треугольника А₁В₁C₁. (Сделать чертёж, иллюстрирующий это следствие.)

В самом деле, на основании теоремы Пифагора получим:

а²= с² — b² ,
 а₁²= с₁² — b₁²

В записанных формулах уменьшаемые равны, а вычитаемое в первой формуле больше вычитаемого во второй формуле, следовательно, первая разность меньше второй,
 т. е.   а² < а₁². Откуда а < а₁.

Упражнения.

1. Пользуясь чертежом 270, доказать теорему Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Один катет прямоугольного треугольника равен 12 см, другой — 5 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, один из катетов равен 8 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 см, один из его катетов равен 35 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

5. Построить квадрат, по площади вдвое больший данного.

6. Построить квадрат, по площади вдвое меньший данного. Указание. Провести в данном квадрате диагонали. Квадраты, построенные на половинах этих диагоналей, будут искомыми.

7. Катеты прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника с точностью до 0,1 см.

8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из его катетов равен 15 см. Вычислить длину другого катета с точностью до 0,1 см.

9. Какой длины должна быть лестница, чтобы её можно было приставить к окну, находящемуся на высоте 6 м, если нижний конец лестницы должен отстоять от здания на 2,5 м? (Черт. 271.)