ГЛАВА VII.
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 81. ЦИЛИНДР.
1. Образование цилиндра.
В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро (черт. 341), консервная банка (черт. 342), пенал (черт. 343), кусок проволоки круглого сечения и т. д.
Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (черт. 344, 345).
Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью (черт. 346).
2. Развёртка цилиндра.
Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник (черт. 347).
Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота — высоте цилиндра и двух кругов (черт. 348).
3. Площадь поверхности цилиндра.
Площадь каждого основания цилиндра равна πr2, площадь обоих оснований составит 2πr2 (черт. 348).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr, а высота равна высоте цилиндра h, т. е. 2πrh.
Полная поверхность цилиндра составит: 2πr2 + 2πrh = 2πr (r + h).
Упражнения.
1. Радиус оснований цилиндра равен 8 см, высота его —20 см. Вычислить:
а) сумму площадей его оснований,
б) площадь его боковой поверхности,
в) полную поверхность цилиндра.
2. Водосточная труба имеет в поперечнике 20 см, её длина — 12 м. Сколько листов оцинкованного железа нужно заготовить для такой трубы, если площадь каждого листа равна 2 кв. м, а отходы при работе составляют 10% заготовленного железа?
3. Сколько листов белой жести потребуется на устройство цилиндрического бака с крышкой, если радиус основания бака должен быть 0,40 м, а высота бака — 0,75 м? На отходы при работе требуется добавить к площади поверхности бака 5%. Площадь одного листа белой жести равна 1,8 кв. м.
4. Выполнив необходимые измерения, вычислить боковую и полную поверхности модели цилиндра, имеющегося в математическом кабинете школы.
4. Объём цилиндра.
Объём цилиндра вычисляют по той же формуле, что и объём прямой призмы, т. е. для вычисления объёма цилиндра площадь его основания (πr2 ) умножают на высоту h.
Vцилиндра = πr2 • h
Получение формулы объёма цилиндра можно пояснить таким рассуждением. Пусть дан цилиндр, впишем в него прямую призму, т. е. построим внутри цилиндра такую прямую призму, основаниями которой служат многоугольники, вписанные в основание цилиндра (черт. 349).
Вершины таких многоугольников лежат на окружностях оснований цилиндра. Объём (V') этой призмы выразится формулой V' = S'h, где S'— площадь основания призмы, h — высота призмы. Если при этом за основание призмы взять многоугольник с очень большим числом очень малых сторон, то площадь основания призмы будет весьма мало отличаться от площади круга, служащего основанием цилиндра, а объём призмы будет весьма мало отличаться от объёма цилиндра. Если пренебречь этими различиями в размерах, то объём цилиндра (V) выразится следующей формулой: V = Sh, где S — площадь основания цилиндра, h — его высота.
Заменив S через πr2, где r — радиус основания цилиндра, получим формулу объёма цилиндра: V = πr2h.
Примечание. В формуле V = Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство V = Sh точное, а не приближённое.
Упражнения.
1. Вычислить объём цилиндра, если диаметр его основания равeн 16 см, а высота цилиндра равна 25 см.
2. Сколько кубических дециметров (литров) воды помещается в баке, имеющем форму цилиндра, если радиус основания его равен 30 см, высота равна 0,6 м?
3. Бревно имеет цилиндрическую форму. Диаметр его основания равен 30 см. Длина бревна — 7,2 м. Сколько кубометров древесины содержит это бревно?
4. Цистерна для молока имеет цилиндрическую форму. Диаметр основания её равен 1,2 м. Длина цистерны — 2 м. Сколько литров молока может вместить эта цистерна?
5. Сколько весит стальной вал цилиндрической формы, если радиус его основания равен 75 мм, а длина —1,6 м и если кубический дециметр его весит 7,8 кг ?
6. Вычислить объём модели цилиндра, имеющегося в школьном математическом кабинете.
7. Вычислить объём ведра, употребляемого в домашнем хозяйстве и имеющего форму цилиндра.