ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 89. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ
ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
Свойства подобных треугольников очень широко применяются на практике. Они находят своё применение при изготовлении различных приборов, механизмов, при проведении измерительных работ, при решении различных задач на вычисление и построение. Ниже приводится описание некоторых таких работ.
1. Деление отрезка на равные части с помощью пропорционального циркуля.
Пропорциональный циркуль применяется в тех случаях, когда нужно небольшой отрезок разделить на несколько равных частей (черт. 370).
Состоит пропорциональный циркуль из двух ножек одинаковой длины, скреплённых таким образом, что они могут вращаться вокруг винта О. Кроме того, благодаря прорезям этот винт может перемещаться, вследствие чего размеры плеч ножек могут изменяться по нашему желанию; таким образом, отношения AO/OB и CO/OD могут быть выбраны произвольно.
Предположим, нам нужно разделить отрезок на пять равных частей (черт. 371).
Для этого винт О должен быть укреплён таким образом, чтобы отношение плеч
AO/OB и CO/OD равнялось 5.
Это легко сделать по тем делениям и цифрам, которые проставляются по краям прорезей. Затем ножки циркуля раздвигаются и устанавливаются так, чтобы концы ножек А и С совпадали с концами данного отрезка т. Тогда расстояние между ножками D и В будет составлять 1/5 отрезка т. Это следует из подобия треугольников АОС и DOB. Затем циркуль поворачивается и на отрезке т откладывается отрезок DB; он отложится ровно 5 раз.
2. Построение и измерение отрезков с помощью поперечного масштаба.
Для построения и измерения отрезков с возможно большей степенью точности применяется прибор, называемый поперечным масштабом. Устройство его видно из чертежа 372.
На произвольной прямой ОК от точки О откладываются вправо отрезки, принятые за единицу. Влево от точки О откладывается такой же единичный отрезок ОВ. В точке В к прямой ВК восставляется перпендикуляр, на котором от точки В откладывается 10 равных произвольных отрезков, и через полученные точки деления 1, 2, 3,...., 10 проводятся прямые, параллельные прямой ВК. Из точек 0, 1, 2, 3 прямой ОК проводятся к ней перпендикуляры, пересекающие проведённые параллельные прямые. Отрезок ОВ делится на 10 равных частей, как и отрезок AD. Затем точки деления нижнего отрезка ОВ соединяются с точками деления верхнего отрезка AD, но так, чтобы нулевое деление нижнего отрезка было соединено с первым делением верхнего отрезка, а деление 1 нижнего отрезка — с делением 2 верхнего отрезка и т. д.
«Цена» (значение) делений на поперечном масштабе такова: каждое деление между наклонными параллелями равно 0,1; деления внутри треугольника с вершиной О соответственно равны 0,01; 0,02 и т. д.
Используют поперечный масштаб следующим образом: если нужно на данной прямой построить отрезок, равный, например, 1, 4 единицы, то помещают одну ножку циркуля в точку с цифрой 1 на луче О К, а другую ножку циркуля— в точку, помеченную на отрезке ВО цифрой 4. Получается отрезок, равный 1,4 единицы, который и переносится на указанную прямую.
Если нужно построить отрезок, равный 2,35 единицы, то помещают одну ножку циркуля в точку пересечения перпендикуляра, помеченного цифрой 2 (на луче OK), и горизонтальной параллели, помеченной цифрой 5. Затем вторую ножку циркуля устанавливают на пересечении параллели 5 с прямой, идущей от деления 3 нижнего отрезка ВО (черт. 372). Получаем отрезок MN, равный 2,35 единицы, который переносится на указанную прямую.
Если требуется измерить какой-нибудь отрезок СР, данный вне поперечного масштаба, то поступаем так:
1. Ставим ножки циркуля в точки С и Р, затем переносим циркуль на поперечный масштаб, помещая одну ножку на такую отметку луча ОК, чтобы другая ножка оказалась внутри отрезка ВО.
2. Передвигаем циркуль параллельно ВК до того момента, когда вторая ножка окажется на одной из наклонных параллелей.
3. По местоположению ножек циркуля определяем длину отрезка СР.
3. Определение высоты предмета.
Пусть нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту дерева (черт.373).
Поставим по отвесу на горизонтальной площадке на некотором расстоянии от основания дерева шест с вращающейся планкой (изображённый на чертеже отдельно), планку установим по направлению на вершину дерева, как это показано на чертеже 373. Отметим на поверхности земли точку В, являющуюся точкой пересечения прямой A'A с горизонтальной площадкой.
Прямоугольные треугольники А'С'В и АСВ подобны, так как они имеют по равному острому углу В. Измерив расстояния С'В и СВ и найдя отношение их, мы найдём коэффициент подобия этих треугольников.
Например, если расстояние С'В = 18 м, а СВ = 1,5 м, то коэффициент подобия будет равен 18/1,5 = 12. Если длина катета АС составит, например, 1,8 м, то высота дерева составит 1,8 •12 = 21,6 (м).
4. Определение расстояния до недоступной точки.
Пусть надо определить расстояние от пункта А до В, находящегося где-нибудь в недоступном месте, например на островке, окружённом водой (черт. 374). Примем пункты А и В за геометрические точки. Провешим по возможности на ровном месте отрезок
АС и измерим его. Пусть длина отрезка составит, например, 120 м.
Измерим с помощью астролябии углы A и С. Пусть они составят 62° и 54°. На листе бумаги в масштабе 0,001 построим треугольник А'В'С' с углами в 62° и 54° (черт.375). Этот треугольник будет подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия их будет равен 1000. На чертеже измерим отрезок А'В'. Пусть длина его будет равна 142 мм. Помножив длину А'В' на коэффициент подобия этих треугольников, получим:
142 • 1000 = 142 000 (мм), что составит 142 м. Это и будет искомое расстояние от пункта А до пункта В. В целях достижения наибольшей точности необходимо особенно тщательно измерить углы треугольника ABC и, кроме того, отрезок АС взять таким образом, чтобы /
B не был слишком мал, так как тогда значительно уменьшится точность результата.
Практические работы.
1. Сделать в мастерской металлический пропорциональный циркуль.
2. Начертить поперечный масштаб, приняв за единицу 1 дм.
3. Определить расстояние до какого-нибудь недоступного пункта.
4. Определить высоту какого-нибудь предмета: здания, мачты, дерева.