ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§   90. ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.

Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое  число  сторон   (углов).

Сходственными    называются стороны   подобных   многоугольников,  соединяющие вершины соответственно равных углов (черт. 376).

Так, например, чтобы многоугольник ABCDE был подобен многоугольнику A'B'C'D'E', необходимо, чтобы:  /  A = /  A';   /  B = /  B';   /  С = /  С';   /  D = /  D';    /  Е = /  Е'  и,  кроме того, ^AB/_A'B' = ^BC/_B'C' = ^CD/_C'D' = ^DE/_D'E' =  ^EA/_E'A'  .

Упражнения.

1.  Будут ли подобны два любых квадрата?

2.  Будут ли подобны два любых прямоугольника?

3.  Будут ли подобны два любых ромба.

Теорема. Два подобных многоугольника диагоналями, проведёнными из вершин любой пары соответственно равных углов, разбиваются на одинаковое число подобных треугольников.

Пусть многоугольники ABCDE и A'B'C'D'E' подобны (черт. 377),
т. е.  ^AB/_A'B' = ^BC/_B'C' = ^CD/_C'D' = ^DE/_D'E' =  ^EA/_E'A'    и   /  A = /  A';   /  B = /  B';   /  С = /  С';   /  D = /  D';    /  Е = /  Е'

В обоих многоугольниках из вершин каких-нибудь соответственно равных углов, например из вершин А и А', проведём диагонали. Мы видим, что многоугольники разбились на одинаковое число треугольников. Докажем, что эти треугольники подобны, а именно:  /\ AВС /\ A'В'С';  /\ ACD /\ A'C'D' и /\ ADE /\ A'D'E'.

Подобие треугольников ABC и А'В'С' вытекает из равенства углов В и В' и пропорциональности сторон  ^AB/_A'B' = ^BC/_B'C' .

Рассмотрим треугольники ACD и A'C'D'. Из подобия треугольников ABC и А'В'С' следует, что /  l = /  3. В данных многоугольниках /  C = /  С', поэтому и
/  C— /  l = /  C— /  3, т. e.  /  2 = /  4; из подобия тех же треугольников следует, что
^BC/_B'C' = ^AC/_A'C'   . В то же время из условия теоремы имеем:  ^BC/_B'C' = ^DC/_D'C' ; так как первые отношения этих пропорций равны, то должны быть равны и вторые отношения их, т. е. ^AC/_A'C'  = ^DC/_D'C' .

В треугольниках ACD и A'C'D' имеем по равному углу, заключённому   между   пропорциональными сторонами,   следовательно,

/\ ACD /\ A'C'D'

Подобие треугольников ADE и A'D'E' следует из того, что /  E = /  E' (по условию) и   ^AE/_A'E' =  ^ED/_E'D' =    (по определению подобных многоугольников). Таким образом, эти треугольники имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами.  Следовательно,  /\ AED /\ A'E'D'.  Теорема доказана.

Замечание. Подобные треугольники расположены в подобных многоугольниках в одном и том же порядке.

Мы рассмотрели два подобных пятиугольника. Таким же путём может быть построено доказательство для любых подобных многоугольников.

Упражнение.

Дано (черт.    377):  /\ AВС /\ A'В'С';  /\ ACD /\ A'C'D' и /\ AED /\ A'E'D'

Доказать, что многоугольники ABCDE и A'B'C'D'E' подобны.