ГЛАВА IX.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА.

На основании равенства и подобия треугольников мы имели возможность решить ряд задач, связанных с определением расстояний, измерить которые непосредственно не представлялось возможным. Например, мы находили расстояние до недоступной точки, высоту предметов, расстояние между пунктами, разделёнными каким-нибудь препятствием, и т. д.

Такие работы имеют большое практическое значение, однако при их выполнении мы получали недостаточно точные результаты. Если результаты, полученные нами, могли удовлетворять нас, когда мы имели дело с фигурами небольших размеров, то они совершенно не могли бы удовлетворить нас в силу своей неточности, если бы мы имели дело с фигурами, имеющими большие размеры. Кроме того, без угломерного инструмента мы не в состоянии были находить размеры углов, имея в своём распоряжении только лишь длину тех или иных отрезков; например, по длине сторон произвольного треугольника мы не могли определять величину его углов.

Однако в математической науке существуют такие приёмы, которые обеспечивают необходимую точность измерений, несмотря на значительные размеры избранных для измерения расстояний, а кроме того, дают возможность по длине тех или иных отрезков определять размеры нужных нам углов и длины неизвестных отрезков.

Овладение такими приёмами связано с изучением так называемых тригонометрических функций. К ознакомлению с некоторыми из них мы и переходим.

§ 94. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

1. Соответствие между отношением сторон и величиной
острых углов в прямоугольном треугольнике.

Пусть имеется какой-нибудь произвольный острый угол, например / ВАС = α  (черт. 388). На стороне AB возьмём произвольную точку М и опустим из неё перпендикуляр MN на сторону АС. Получим   прямоугольный   треугольник   MAN.


Черт. 388

Возьмём отношения  его сторон попарно:

MN
AM

(отношение   катета, противолежащего углу α , к гипотенузе);
AN
AM

 (отношение катета, прилежащего к углу α , к гипотенузе);
MN
AN

(отношение катета,   противолежащего   углу   α , к   катету  прилежащему);
AM
MN

(отношение   гипотенузы   к   катету,    противолежащему  углу α );
AM
AN

(отношение   гипотенузы   к   катету, прилежащему к углу α );
AN
MN

(отношение   катета,   прилежащего к   углу α , к катету противолежащему).

Мы получили 6 отношений. Величина этих отношений не зависит от того, где на стороне АВ мы возьмём точку М. Так, если вместо точки М мы возьмём на стороне АВ какую-нибудь точку М' , то новый треугольник AM'N' будет подобен треугольнику MAN и потому ни одно из отношений не изменится.

Значит, взятому углу α  соответствуют одни и те же определённые значения каждого из отношений.

Возьмём теперь другой острый угол, /   В'АС = ß (например, больший угла  α), и на стороне АВ' отметим точку Р так, чтобы АР = AM (черт.389).

Черт. 389

Как увидим ниже, подобный выбор точки Р не повлияет на общность рассуждений. Опустив из точки Р перпендикуляр PD на сторону АС, получим прямоугольный треугольник APD.

Составим отношения сторон этого треугольника в том же порядке, как и для треугольника MAN:

PD
AP		 AD
AP		 PD
AD		 AP
PD		 AP
AD		 AD
PD

Эти отношения не изменятся, если точку Р переместим в любую точку Р' луча АВ'. Значит, взятому значению угла ß соответствует определённое значение каждого из отношений.
Однако если мы сравним значения соответствующих отношений для угла α и для угла ß, то увидим, что они различны:

PD
AP		 MN
AM

так как АР = AM, a PD > MN;
AD
AP		 AN
AM

так как АР = AM, a AD < AN;
PD
AD		 MN
AN

так как PD > MN и AD < AN и, следовательно,первое отношение больше второго и т. д.

Таким образом, выходит, что каждому размеру острого угла соответствует определённое значение каждого отношения сторон.

Справедливо и обратное утверждение: каждому значению отношения сторон   соответствует определённый размер угла.

На этом основании можно считать, что отношения сторон прямоугольного треугольника являются функциями его острого угла. Эти функции называются тригонометрическими   функциями   угла.

Перейдём к более подробному их рассмотрению.

2. Определение тригонометрических функций.

Возьмём прямоугольный треугольник ABC и обозначим его стороны буквами a, b и с
(черт.390). Рассмотрим сначала функции угла А.

Черт. 390

Отношение  называется синусом угла   А,
т. е. синусом угла А называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе.

Отношение  называется   косинусом угла А,
т. е. косинусом угла А называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Отношение  называется   тангенсом угла А,
т. е. тангенсом угла А   называется   отношение   катета, противолежащего этому углу,   к   катету   прилежащему.

Отношение   называется котангенсом угла А,
  т.е. котангенсом угла А называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к катету противолежащему.

Отношение   называется секансом  угла А.

Отношение        называется косекансом   угла А.

Наиболее употребительными являются первые четыре функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Эти функции угла A обозначаются так:   sin / A,   cos / A,   tg /  A и   ctg /  A;

;       ;       ;        .

Установим теперь функции для /  В:

b
c

- синус угла В,

b
c		 =

sin  / B
a
c

- косинус угла В,

 a
c		 =

cos  / B
b
a

- тангенс угла В,

 b
a		 =

tg  / B
a
b

- котангенс   угла В

 a
b		 =

ctg  / B

Упражнения.

1. Начертить прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Вычислить с помощью теоремы Пифагора длину гипотенузы, а затем синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника.
2.  Начертить прямоугольный треугольник ABC с катетами: АС = 18 мм, ВС= 24 мм, вычислить с помощью теоремы Пифагора длину гипотенузы АВ и найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А, а затем синус, косинус, тангенс и котангенс угла В.
3.  Начертить произвольный прямоугольный треугольник, измеритьегостороны в миллиметрах и найти синус,  косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника с точностью до 0,01.

Используются технологии uCoz