ГЛАВА IX.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА.

§ 102.СУММА ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ УГЛОВ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.

При съёмке плана земельного участка, имеющего форму многоугольника, необходимо производить проверку правильности измерения его углов.

Для этого нужно знать, как находить сумму внутренних и внешних углов любого многоугольника. К рассмотрению этого вопроса мы и перейдём.

Возьмём многоугольник, имеющий п сторон (черт. 406).

Диагонали, выходящие  из одной   какой-либо   вершины многоугольника,   разделяют   его на (п—2)   треугольника,  так  как каждый из этих треугольников содержит по одной стороне многоугольника, за исключением двух крайних треугольников, содержащих по две стороны многоугольника.

Следовательно, сумма внутренних углов многоугольника равна 2d (n —2). Возьмём многоугольник, имеющий п сторон, и построим при каждой его вершине по одному внешнему углу (черт. 407).

Мы получим п  пар  смежных   углов. Сумма   их   равна  2d  • п. Сюда входят все внутренние и внешние углы многоугольника. Но так как сумма внутренних углов многоугольника равна 2d (n—2), то сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 2dn — 2d (n—2) = 2dn —  (2dn — 4d) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Следовательно, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, равна 4d.

Упражнения.

1.  Пользуясь чертежом  408, вывести другим способом формулу для вычисления суммы внутренних   углов   любого   выпуклого  многоугольника.

2.   Вычислить     сумму     внутренних    углов пятиугольника,   шестиугольника,    восьмиугольника, двенадцатиугольника.

3.  Применить    выведенную    формулу   для вычисления суммы внутренних углов выпуклого многоугольника   для  четырёхугольника   и треугольника.

4.Сколько сторон (углов) имеет многоугольник, если сумма внутренних углов его равна 12d?

5. Может ли сумма внутренних углов многоугольника быть выражена нечётным числом d?