ГЛАВА   X.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 105. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность.

Описать окружность около треугольника — это значит построить такую окружность, которая проходила бы через его вершины, т. е. через три точки, не лежащие на одной прямой.

В § 69 была решена задача: «Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность». При этом было установлено, что задача всегда имеет решение, и только одно.

На этом основании можем утверждать, что около любого треугольника   можно описать окружность, и притом только одну.

Как видно из решения той же задачи, центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника из их середин.

Теорема 2. Во всякий треугольник можно вписать окружность.
Пусть дан /\   ABC (черт. 411). Проведём биссектрисы двух углов треугольника, например угла А и угла В. Опустим из точки их пересечения О перпендикуляры на стороны треугольника ABC: ОМ _|_ АС, OK _|_ AB и  OP _|_ ВС.

Все эти перпендикуляры равны между собой: ОР = О К = ОМ
(так как ОР = ОК и ОМ = ОК, то и ОР = ОМ, § 32).

Следовательно, если из точки О как из центра радиусом, равным ОК, описать окружность, то прямые АВ, ВС и АС будут касательными к окружности О, так как они перпендикулярны к радиусам в конечной их точке на окружности.

Таким образом, окружность О будет вписанной в треугольник ABC.

Следствие. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В /\  АВС (черт. 411) соединим центр окружности О с вершиной С треугольника и докажем, что ОС является биссектрисой  /  С.  Для этого сравним два прямоугольных треугольника:  /\  МОС и  /\  РОС. Они   равны по гипотенузе (ОС) и катету   (ОМ = ОР). Следовательно, / 1 = / 2, т. е. ОС является биссектрисой угла С. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Примечание. Пересечение биссектрис треугольника в одной точке отмечалось еще в начале настоящего курса, но там это свойство было дано без доказательства.