ГЛАВА   XI.

ПРАВИЛЬНЫЕ    МНОГОУГОЛЬНИКИ.

§   108. ПОСТРОЕНИЕ   ПРАВИЛЬНЫХ   МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Если окружность разделить на равные части и точки деления последовательно соединить хордами,то получим правильный многоугольник (вписанный).

Пусть окружность О разделена, например, на 5 равных частей (это можно сделать с помощью транспортира) и точки деления последовательно соединены хордами (черт. 417). Полученный многоугольник правильный, так как:

 во-первых, все стороны его равны, как хорды, стягивающие равные дуги;
 во-вторых, все углы его равны, как вписанные, опирающиеся на равные дуги.

Будем иметь то же самое, если разделим окружность на любое число равных   частей.

Теорема 2. Если окружность разделить на равные части и через точки деления провести касательные к ней, то получится правильный многоугольник (описанный), вершинами которого будут служить точки пересечения касательных, проведенных через соседние точки касания (черт. 418).

В справедливости этого можем.убедиться следующим образом. Соединим хордами точки касания: получим ряд треугольников, каждый из которых составлен двумя касательными и хордой. Эти  треугольники равнобедренные (на основании свойств касательных, проведённых к окружности из какой-нибудь точки вне её). Кроме того, все они равны между собой, так как имеют по равной стороне (хорды, стягивающие в круге равные дуги) и по два равных угла (все они составлены касательной и хордой и измеряются половинами    равных   дуг).

Отсюда следует, что построенный многоугольник правильный, так как имеет равные стороны и равные углы.