ГЛАВА XI.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
§ 109. СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Теорема1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Пусть ABCDEF (черт. 419) — правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность.
Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно провести окружность, которая пройдёт через три любые вершины правильного многоугольника, например через вершины Е, D и С. Пусть точка О — центр этой окружности.
Докажем, что эта окружность пройдёт и через четвёртую вершину многоугольника, например через вершину В.
Отрезки ОЕ, OD и ОС равны между собой, и каждый равен радиусу окружности. Проведём ещё отрезок ОВ; про этот отрезок сразу нельзя сказать, что он также равен радиусу окружности, это надо доказать. Рассмотрим треугольники OED и ODC, они равнобедренные и равные, следовательно, / 1 = / 2 = / 3 = / 4.
Если внутренний угол данного многоугольника равен α , то / 1 = / 2 = / 3 = / 4 = α/2 ; но если / 4 = α/2, то и / 5 = α/2, т. е. / 4 = / 5.
Отсюда заключаем, что /\ ОСD = /\ ОСВ и, значит, ОВ = ОС, т. е. отрезок ОВ равен радиусу проведённой окружности. Из этого следует, что окружность пройдёт и через вершину В правильного многоугольника.
Таким же приёмом докажем,что построенная окружность пройдёт и через все остальные вершины многоугольника. Значит, эта окружность будет описанной около данного правильного многоугольника. Теорема доказана.
Теорема 2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.
Пусть ABCDEF—правильный многоугольник (черт. 420), надо доказать, что в него можно вписать окружность.
Из предыдущей теоремы известно, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть точка О — центр этой окружности.
Соединим точку O с вершинами многоугольника. Полученные треугольники OED, ODC и т д. равны между собой, значит, равны и их высоты, проведённые из точки О, т. е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.
Поэтому окружность, описанная из точки О как из центра радиусом, равным отрезку ОК, пройдёт через точки К, L, M, N, Р и Q, и высоты треугольников будут радиусами окружности. Стороны многоугольника перпендикулярны к радиусам в этих точках, поэтому они являются касательными к этой окружности (§ 73). А это значит, что построенная окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Такое же построение можно выполнить для любого правильного многоугольника, следовательно, вписать окружность можно в. любой правильный многоугольник.
Следствие. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, имеют общий центр.
Определения.
1. Центром правильного многоугольника называется общий центр окружностей, описанной около этого многоугольника и вписанной в него.
2. Перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону, называется апофемой правильного многоугольника.