ГЛАВА XII.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 115. КОНУС.

1. Получение конуса.

Если вращать прямоугольный треугольник около одного из его катетов, то получится геометрическое тело, называемое прямым круговым  конусом¹ (черт. 435, 436, 437).
___________________
 ¹Мы будем рассматривать только прямой круговой конус и будем называть его просто к о н у с.

Основанием конуса является круг.

Гипотенуза прямоугольного треугольника, движение которой образует боковую поверхность конуса, называется образующей конуса. Боковая поверхность конуса называется конической поверхностью.

Высота прямого кругового конуса, опущенная из его вершины на основание, проходит через центр основания.

2. Развёртка конуса.

На чертеже 438 дано изображение развёртки конуса. Сектор SAB — развёртка боковой поверхности конуса, а круг с центром О — основание конуса. Длина дуги АВ, очевидно, равняется длине окружности основания конуса (2πR), а радиус AS этой дуги — образующая   конуса.

Упражнение.

Начертить развёртку конуса в произвольном масштабе и сделать модель прямого кругового  конуса.

3. Площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl, где R — радиус основания конуса, а l — образующая   конуса.

Так как площадь основания конуса равна   πR²   (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна:  πR² + πRl = πR (R + l ).

Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже 439 изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние — друг с другом хордами.

Получим   ряд   равных   треугольников. Площадь каждого треугольника равна  ^ah/₂ , где а — длина  основания треугольника, a h — его высота.

Сумма площадей всех треугольников составит:  ^ah/₂ • n = ^anh/₂ , где п — число треугольников.

При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an, становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.

Пренебрегая незначительными различиями в размерах  этих величин,  получаем формулу площади боковой поверхности конуса  (S):

S = ^Cl/₂  , где   С — длина   окружности основания конуса, l — образующая  конуса.

Зная, что С = 2πR, где R — радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl.

Примечание. В формуле S = ^Cl/₂ поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней  школы доказывается, что равенство
S = ^Cl/₂   точное, а не приближённое.

4. Объём  конуса.

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = ¹/₃  Sh,
где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.
Окончательно V = ¹/₃ πR²h,  где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением.

Пусть дан конус (черт. 440). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.

Объём этой пирамиды выразится формулой: V' = ¹/₃ S'h, где V — объём пирамиды,
S' — площадь её основания, h — высота   пирамиды.

Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды— весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = ¹/₃ Sh,    где    V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.
Заменив S через πR², где   R — радиус круга, получим формулу: V = ¹/₃ πR²h,  выражающую объём конуса.

Примечание. В формуле   V = ¹/₃ Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения   мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах   средней школы доказывается, что равенство
V = ¹/₃ Sh точное, а не приближённое.

Упражнения.

1. Вычислить полную поверхность конуса и его объём по данным, помещённым в нижеследующей таблице:

2. Определить вес кучи песка, имеющей форму конуса с окружностью основания
15,7 м и с образующей в 6,8 м. (Удельный вес песка принять равным 1,5).

3. Вычислить поверхность и объём конусов, имеющихся среди моделей геометрических  тел  в  математическом  кабинете  школы.

При всех вычислениях рекомендуется пользоваться таблицами и логарифмической    линейкой.