ГЛАВА XII.
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
§ 116. ШАР.
Если вращать половину круга вокруг его диаметра, то получим геометрическое тело, называемое шаром (черт. 441)
Центр круга будет служить и центром шара, а диаметр круга диаметром шара.
Поверхность шара называется ш а р о в о й поверхностью Все точки шаровой поверхности одинаково удалены от центра шара.
Сечение шара плоскостью всегда имеет форму круга (черт 442) сечение, проходящее через центр шара, называется большим кругом. Большой круг делит шар на две равные части (черт. 443).
Площадь поверхности шара (или просто поверхность шара) равна учетверенной площади большого круга, т.е. 4πR2 ; S = 4πR2 , или S = πD2 . Эти формулы будут выведены в старших классах школы.
Объём шара равняется 4/3 πR3, V = 4/3 πR3.
Получение формулы объёма шара можно пояснить таким рассуждением. В шар можно поместить весьма большое число пирамид с весьма малыми площадями оснований, расположив пирамиды так, чтобы вершины их находились в центре шара, вершины оснований лежали на поверхности шара и своими боковыми гранями пирамиды непосредственно примыкали одна к другой (черт. 444).
Высота каждой из построенных пирамид очень близка по длине к радиусу (R) шара. Если пренебречь различием их длин, то объём (v) каждой пирамиды можно выразить так:
v = 1/3 sR
где s — площадь основания пирамиды.
Сумма объёмов (V') этих пирамид тогда выразится формулой:V' = 1/3 S'R, где S' — сумма площадей оснований пирамид.
оСумма эта (S') весьма близка к площади поверхности шара (S).
Сумма объёмов всех пирамид (V') весьма близка к объёму (V) шара. Если пренебречь незначительными различиями в размерах этих величин, то получим формулу:
V = 1/3 SR , показывающую, что объём шара равен 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Обычно говорят короче: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.
Подставив значение S = 4πR2, получим формулу: V = 4/3πR3, или V = 1/6 πD3,
где D — диаметр шара.
Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.
Упражнения.
1. Вычислить объём шара, если его радиус равен 5 см (8 см ; 10 см ; 12 см).
2. Сколько весит чугунный шар, если радиус его равен 50 см? (Удельный вес чугуна принять равным 7.)
3. Определить объём футбольного мяча (предварительно сантиметровой лентой измерить окружность большого круга и вычислить R).
4. Медный шар весит 10 кг. Определить его диаметр (удельный вес меди равен 7,9).
5. Вычислить объём земного шара, приняв его диаметр за 13 000 км.
6. На чертеже 445 изображены три геометрических тела: цилиндр, конус и шар. Радиусы оснований цилиндра и конуса равны радиусу шара. Высоты цилиндра и конуса равны диаметру шара.
Доказать, что при этих условиях объём цилиндра равен сумме объёмов конуса и шара.