ГЛАВА XI.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Вписанные и описанные треугольники.

905. 1) Около треугольника, стороны которого равны 5 см, 6 см и 7 см, описать окружность и измерить её радиус.

2) Около треугольника, стороны которого, заключающие угол в 140°, равны 4 см и3 см, описать окружность и найти её длину (измерив предварительно её радиус или диаметр).

906. Около треугольника описана окружность. В каком случае центр её будет находиться: а) внутри .треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне треугольника?

907. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

908. Найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 6 см.

909. В окружность радиуса 10 см вписан равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 120°. Найти стороны этого треугольника.

910. В прямоугольном треугольнике ABC /  С = 90°, /  В = 25°. Под каким углом видна каждая его сторона из центра окружности, описанной около треугольника?

911. В данную окружность вписать:
 а) равносторонний треугольник;
 б) равнобедренный треугольник с углом при вершине в 130°;
 в) равнобедренный треугольник с углом при основании 26°.

912. В треугольник, стороны которого равны 5 см, 6 см и 10 см, вписать круг и вычислить его площадь (предварительно измерив диаметр круга).

913. Высота равностороннего треугольника равна h. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

914. Найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, сторона которого равна а.

915. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого равна с.

916. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из катетов равен 6. Найти радиус вписанной в него окружности.

917. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные
(черт. 255), периметры отсечённых треугольников равны Р₁, Р₂ и Р₃. Найти периметр данного треугольника.

918. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины. Найти периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

919. Около данной окружности описать: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 58°.

920. Около окружности радиуса 3 см описать равнобедренный треугольник с углом при вершине в 57°. Найти его площадь.

Вписанные и описанные четырёхугольники.

921. Можно ли описать около четырёхугольника окружность, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны 85°, 130°, 95°?

922. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся, как 2:3:4. Найти угол D, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

923. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 75° и 55°. Найти остальные два угла.

924. Указать, около каких четырёхугольников может быть описана окружность: квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции.

925. При каком условии можно описать окружность около четырёхугольника ABCD,  если АВ = AD, ВС = CD и АВ =/= ВС?

926. Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся, как а) 2 : 4 : 5 : 3;  б) 5 : 7 : 8 : 9?

927. Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна к диагонали BD и делит её пополам. Определить углы этого четырёхугольника, если
/  BAD = 72°.

928. Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см, угол между диагоналями равен 120°. Найти радиус описанной окружности.

929. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в 12°30'. На какие части делится вершинами этого прямоугольника окружность, описанная около него?

930. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию. При каком условии центр окружности, описанной около этой трапеции, будет лежать:
а) внутри трапеции; б) на основании трапеции; в) вне трапеции?

931. 1) Три последовательные стороны четырёхугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 cм и 9 см. Найти периметр этого четырёхугольника.

2) В трапецию, периметр которой равен 0,42 м, вписана окружность. Три стороны трапеции, взятые в последовательном порядке, относятся, как 2 : 7 : 12. Найти все стороны трапеции.

932. Около круга описана трапеция, периметр которой равен 12 см. Определить среднюю линию этой трапеции.

933. Около круга описана равнобедренная трапеция с углом в 150°, её средняя линия равна 40 см. Определить площадь круга.

934. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 6 см. Какой угол образует боковая сторона трапеции с основанием, если средняя линия трапеции равна
16 см?

935. В равнобедренную трапецию с острым углом в 45° вписана окружность, радиус которой равен 10 см. Найти площадь трапеции.

936. Построить ромб по стороне и радиусу вписанной в него окружности.

937. Построить трапецию, описанную около круга диаметра 6 см, если её средняя линия равна 10 см.

ОТВЕТЫ