ГЛАВА XII.
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЁМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.
Правильная призма.
971. 1) На модели правильной треугольной призмы укажите рёбра, лежащие на скрещивающихся прямых.
2) Такое же задание выполнить на модели правильной шестиугольной призмы.
972. Определить двугранные углы, составленные смежными боковыми грянями:
а) правильной четырёхугольной призмы;
б) правильной треугольной призмы;
в) правильной шестиугольной призмы.
973. На чертеже 258 изображена правильная шестиугольная призма Укажите:
а) все рёбра, параллельные ребрy A1F1
б) все рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых.
974. Вычислить боковую и полную поверхности правильных призм по размерам, данным на чертеже 259.
975. Вычислить объёмы правильных призм по их размерам (черт. 259).
976. По размерам, указанным на развёртках правильных призм (черт. 260), вычислить объём этих призм.
977. Бак имеет форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 200 мм. Найти диаметр основания цилиндра, имеющего тот же объём и высоту.
978. Определить вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0,30 м х 0,30 м х 2,50 м. Удельный вес материала принять равным 2,2 Г/см3.
979. Какая часть воды выльется из бака, если его наклонить так, как указано на чертеже 261? Размеры даны в дециметрах.
980. Бак наклонён так, что вода заполняет лишь половину его объёма (черт. 262). Какой угол образует в этом случае боковое ребро бака с плоскостью основания?
981. Из правильных призм (черт. 263) изготовили цилиндры наибольших размеров. Какой процент материала пошёл в отход в каждом случае?
982. Площадь основания правильной призмы равна 200 см2. Может ли её объём равняться 1 см3?
983. На модели правильной пирамиды укажите несколько рёбер, лежащих на:
а) пересекающихся прямых;
б) скрещивающихся прямых.
984. На чертеже 264 изображена правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Указать все рёбра, лежащие на прямых, не пересекающих: а) ребро SC; б) ребро АВ.
985. По размерам правильных пирамид, данных на чертеже 265, определить углы, которые составляют с плоскостью основания: боковое ребро пирамиды; апофему пирамиды; боковую грань пирамиды.
986. По размерам правильных пирамид (черт. 266 и 267) найти их боковую и полную поверхности.
987. Чему равен объём бункера, имеющего форму правильной усечённой пирамиды и размеры, данные на чертеже 268?
988. В треугольной пирамиде каждое ребро равно а. Доказать что эта пирамида — правильная.
989. Найти полную поверхность и объём правильной треугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а.
990. Начертить развёртки правильных треугольной и четырёхугольной пирамид, у которых каждое ребро равно а, и найти отношение их объёмов.
991. На чертеже 269 даны развёртки правильных пирамид. Проведя необходимые построения и измерения, найти полные поверхности и объёмы пирамид.
992. Построить развёртку правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 30 мм, а апофема равна 40 мм.
993. Построить развёртку правильной четырёхугольной пирамиды, если диагональ её основания равна 3 см, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45°.
994. Построить развёртку правильной пирамиды, объём которой равен 50 см3, если:
а) в основании её лежит квадрат со стороной 40 мм;
б) в основании её лежит правильный треугольник со стороной 50 мм.
995. Как изменится объём пирамиды, если:
а) её высоту увеличить в два раза;
б) площадь её основания уменьшить в два раза;
в) все стороны её основания уменьшить в два раза;
г) все стороны основания уменьшить в два раза, а высоту увеличить в два раза?
996. Найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, если её объём равен объёму куба со стороной 4 см.
997. По размерам, данным на чертеже 270, найти углы, которые составляют образующие конусов с плоскостями их оснований.
Конус.
998. По размерам, данным на чертеже 270, найти боковые поверхности конусов.
999. Построить развёртки конусов, изображённых на чертеже 270, а и б.
1000. Длина окружности основания конуса равна 64 см, образующая его равна 70 см. Найти:
а) полную поверхность конуса;
б) угол, составленный образующей конуса с плоскостью его основания.
1001. Угол между образующей и осью конуса равен 30°, образующая равна 142 см. Определить полную поверхность конуса.
1002. Как изменится боковая поверхность конуса, если:
а) радиус его основания увеличить в два раза;
б) его высоту увеличить в два раза;
в) радиус основания уменьшить в два раза, а высоту увеличить в 3 раза?
1003. Вычислить объёмы конусов по размерам, данным на чертеже 270.
1004. Вычислить объём конуса по развёртке его боковой поверхности (черт. 271), предварительно измерив центральный угол развёртки.
1005. Вычислить объём тела по размерам, данным на чертеже 272.
1006. Вычислить объёмы тел, размеры которых даны на чертеже 273, при а = 345 мм; b = 122 мм; d = 140 мм.
1007. Для изготовления указки (черт. 274) был взят брусок квадратного сечения размером 20 мм x 20 мм и длиной 500 мм. Найти, какой процент материала пошёл в отход.
1008. Как изменится объём конуса, если:
а) радиус его основания увеличить в два раза;
б) площадь его основания увеличить в три раза (как при этом изменится радиус основания?);
в) его высоту уменьшить в два раза;
г) площадь его основания уменьшить в четыре раза, а высоту увеличить в два раза?
Шар.
1009. Вычислить поверхность и объём шара, диаметр которого равен 140 мм.
1010. Найти отношение поверхностей и объёмов двух шаров, радиусы которых равны 10 см и 12 см.
1011. Написать формулы, выражающие зависимость поверхности и объёма шара от его диаметра.
1012. Диаметр Марса приближенно равен половине диаметра Земли. Во сколько раз его поверхность и объём меньше поверхности и объёма Земли?
1013. Как относятся радиусы двух шаров, если их объёмы относятся, как 1 : 2?
1014. Как относятся радиусы двух шаров, если их поверхности относятся, как 5:1?
1015. Из куба с ребром 105 мм выточен шар диаметра 100 мм. Какой процент материала пошёл в отход?
1016. Чему равен вес деревянного шара диаметра 100 мм, если удельный вес дерева принять равным 0,50 Г/см3?
1017. Как относятся поверхности и объёмы куба и шара, если ребро куба равно диаметру шара?
1018. Куб и шар имеют равные поверхности. Как относятся их объёмы?
1019. Куб и шар имеют равные объёмы. Как относятся их поверхности?
1020. Определить объёмы тел, данных на чертеже 275.
1021. 1) Каков приближённо объём сферического аэростата диаметра 12 м?
2*) Какова подъёмная сила этого аэростата у земли, если оболочка аэростата наполнена техническим водородом и подъёмная сила технического водорода при температуре 15° С и давлении 760 мм ртутного столба принимается равной 1,1 кГ/м ?
Каков вес балласта, уравновешивающего подъёмную силу, если общий вес конструкции, оборудования, снаряжения и двух пилотов составляет 600 кГ?
1022. Найти вес полого чугунного шара, толщина стенок которого равна 7,0 мм, если его наружный диаметр равен 120 мм. Удельный вес чугуна принять равным 7,2 Г/см3.
ОТВЕТЫ
