ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 8. Симметрия относительно прямой.

129. Построить: а) точку, симметричную данной точке относительно данной оси
(черт. 41);
б) отрезок, симметричный данному отрезку относительно данной оси (черт. 41).

130. Построить: а) треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной оси;
б) четырёхугольник, симметричный данному четырёхугольнику относительно данной оси (черт. 42).

131. Построить ломаную, симметричную ломаной ABCDE относительно данной оси l(черт. 43).

132. Вырезать из бумаги квадрат, прямоугольник и круг и, перегибая бумагу, установить, сколько осей симметрии имеют эти фигуры.

133. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, данных на чертежах 44 и 45?

134*. 1) Построить луч, симметричный данному относительно данной оси.

2) Построить прямую, симметричную данной относительно данной оси.

3) Построить угол, симметричный данному относительно данной оси.

135. 1) Построить ось симметрии данного отрезка.

2) Построить ось симметрии двух данных точек.

136. Перечертить в тетрадь фигуры, данные на чертежах 46 и 47, и провести все их оси симметрии.

137. 1) Отрезок АС перпендикулярен прямой lи делится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой l. Доказать, что точка В находится на одинаковом расстоянии от точек А и С.

2) На чертеже 48 точки А и A₁ симметричны относительно прямой l, точки В и В₁ находятся на отрезке AA₁и АВ = А₁В₁ точка С находится на прямой l. Доказать, что отрезки СВ и CB₁ равны.

138.1) Точки В и B₁, симметричные относительно прямой l, соединены отрезками прямых с точками А и С, лежащими на этой прямой. Доказать, что:
a) / ВАС = / В₁АС; б) / BCA = / B₁CA; в) / ABC = / AB₁C

2) Точки В и B₁ симметричные относительно прямой l, соединены с точками Aи С, лежащими на этой прямой. Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику AB₁C.

139. Дана прямая lи точки М и N, расположенные по одну сторону от неё. На прямой lнайти такую точку С, чтобы сумма отрезков МС и CN была наименьшей.
Указание. Свести задачу к задаче 38.

140. Дана прямая АВ и точки М и N, расположенные по одну сторону от неё. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы /  АСМ = /  NCB.

141. В окружности проведена хорда CD, перпендикулярная диаметру АВ, и концы хорды CD соединены с концами диаметра АВ. Доказать равенство хорд АС и AD и равенство хорд ВС и BD.

142. 1) В окружности проведены диаметр АВ и хорды АС и AD, образующие с диаметром равные углы. Доказать, что точки С и D симметричны относительно диаметра А В и хорды АС и AD равны.

2) В окружности проведены диаметр АВ и хорды АС и AD, образующие с диаметром равные углы. Провести хорды ВС и BD и доказать, что треугольник ABC равен треугольнику ABD.

Свойства равнобедренного  треугольника.

143. 1) На чертеже 49 АВ = ВС. Доказать, что /  1 = /  2.

2) В треугольнике ABC АВ = ВС, стороны АС и ВС продолжены, как указано на чертеже 50. Доказать, что /  1 = /  2.

144. В треугольнике ABC, в котором /  А = 38°, /   В = 110°, /  C = 32°, проведены два отрезка BD и ВE так, что BD = AD, BE = ЕС (черт. 51). Найти /  DBE.

145. На чертеже 52 АВ = BС; CD = DE. Доказать, что /  ВAС = /  CED.

146. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, равные
12 см и 9 см. Найти стороны треугольника (два решения).

147. Построить треугольник, провести в нём медиану и измерить медиану и стороны треугольника. На основании полученных данных проверить, что:
а) медиана треугольника меньше его полупериметра;
б) каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

ОТВЕТЫ