ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 9. Равенство треугольников.

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

148. 1) Построить треугольник по двум его сторонам, равным 6,4 см и 4,6 см, и углу между ними, равному 68°. Из вершины угла в 68° провести высоту треугольника и измерить её.

2) Построить треугольник по двум сторонам, равным 62 мм и 54 мм, и углу между ними, равному 154°. Из вершины меньшего угла треугольника провести высоту и измерить её.

149. На сторонах угла ВАС отложены равные отрезки AM и AN (черт. 53); произвольная точка D биссектрисы этого угла соединена с точками М и N.
Доказать, что DM = DN.

150. 1) В равнобедренном треугольнике ABC на основании ВС отложены равные отрезки ВМ и NC (черт. 54). Доказать, что вершина А одинаково удалена от точек М и N.

2) В треугольнике ABC (черт. 54) АВ = АС, ВМ = NC. Доказать, что / AMN = / ANM.

151. В четырёхугольнике ABCD (черт. 55) АС и BD —диагонали, АО = ОВ и DO = ОС. Доказать равенство сторон AD и ВС.

152. Доказать, что равнобедренные треугольники равны, если боковая сторона и угол при вершине одного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине другого треугольника.

153. Медиана AD треугольника ABC продолжена за основание ВС на отрезок DE, равный отрезку AD, и точка Е соединена с точкой С отрезком прямой. Найти величину угла АСЕ, если / ACD = 56° и / ABD = 40°.

154. 1) Доказать, что в равнобедренном треугольнике медиaны, проведённые к боковым сторонам, равны.

2) На сторонах равнобедренного треугольника ABC от его вершины В отложены равные отрезки ВМ и BN (черт. 56). Доказать, что отрезки СМ и AN равны.

155. Доказать, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

156. 1) На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены, как указано на чертеже 57, равные отрезки AD, CF и BE и точки D, Е и F соединены отрезками прямых. Доказать, что треугольник DEF равносторонний.

2) Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как указано на чертеже 58, и на их продолжениях отложены равные отрезки AD,CE и BF. Доказать, что точки D, F и Е являются вершинами равностороннего треугольника.

157. На чертеже 59 АВ=АС, AE=AD. Доказать, что BD= СЕ.

158. На чертеже 60 АВ = ВС, BD = BF, / 1= / 2. Найти на этом чертеже равные треугольники.

159. Построить четырёхугольник, равный данному, использовав признак равенства треугольников по двум сторонам и углу, заключённому между ними.

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

160. 1) Построить треугольник по стороне, равной 5,2 см, и прилежащим к ней углам, равным 30° и 125°.

2) Построить равнобедренный треугольник по основанию, равному 57 мм, и прилежащему к нему углу, равному 48°.

161. На чертеже 61 дана фигура у которой AD = CF, / ВАС = / EDF, / 1= / 2. Доказать, что /\АВС = /\DEF.

162. Лучи AD и ВС пересекаются в точке О (черт. 62), / 1 = / 2, ОС = OD. Доказать, что / А = / В.

163. 1) В треугольнике ABC AB = АС и / 1 = / 2 (черт. 63). Доказать, что / 3 = / 4.

2) На чертеже 64 AD = AE, / CAD = / ВAE. Доказать, что BD = СE.

164. 1) Доказать, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Доказать, что в равных треугольниках биссектрисы равных углов равны.

165. Доказать, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

166. В четырёхугольнике ABCD (черт. 55) / DAB = / CBA и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Доказать, что диагонали четырёхугольника равны.

167. На чертеже 65 / 1 = / 2, / 5 = / 6. Доказать, что / 3= / 4.

168. Треугольники ABC иA₁B₁C₁ равны (черт. 66). Отрезки CD и C₁D₁ образуют со сторонами СВ и С₁В₁, равные углы BCD и B₁С₁D₁ Доказать, что AD = А₁D₁.

169. 1) Доказать, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, отсекает на его сторонах равные отрезки.

2) Через данную точку, лежащую внутри данного угла, провести прямую, отсекающую от сторон данного угла равные отрезки.

Равенство треугольников по трём сторонам.

170. 1) Построить треугольник, равный данному (черт. 67).

2) Построить треугольник по трём сторонам b, d и е (черт. 68).

3) Построить треугольник со сторонами, равными 4,5 см, 7,2 см, 6,5 см.

171. 1) Построить равнобедренный треугольник по сторонам, равным 65 мм и 20 мм, и провести в нём ось симметрии.

2) Построить равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см, и провести в нём все оси симметрии.

172. 1) Построить треугольник, стороны которого равны 80 мм, 72 мм и 95 мм, провести все его высоты и измерить их.

2) Построить треугольник по сторонам АВ =12 см, ВС = 6 см, АС = 8 см. Из вершины С провести биссектрису и медиану, измерить их.

173. Могут ли быть треугольники со сторонами:
а) 15 м, 18 м, 17 м; б) 24 м, 3 м, 14 м; в) 0,8 м, 1,6 м, 0,2 м; г) 35 см, 5м, 1 дм?

174. 1) На чертеже 68 даны пять отрезков а, b, с, d и е. Могут ли быть сторонами треугольника отрезки: а) а, bи с; б) а, с ие; в) b, d и с; г) b, d и е?

2) Начертить три произвольных отрезка и построить треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. Какому условию должны удовлетворять длины отрезков?

175. 1) Может ли быть треугольник со стороной, равной 52 мм, и периметром, равным 100 мм?

2) Одна из сторон треугольника равна 24 см, другая сторона равна 40 см. Найти третью сторону треугольника, если известно, что она в два раза меньше одной из данных сторон.

176. Две стороны равнобедренного треугольника равны:
а) 2 см и 6см; б) 15см и14см; в) 8 см и1 дм; г) 3 дм и 10 см.
Какие из этих сторон могут быть основанием равнобедренного треугольника?

177. Длины двух сторон равнобедренного треугольника относятся, как 3 : 8. Найти все стороны треугольника, если его периметр равен 38 см.

178. 1) Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Найти его стороны, если известно, что одна из сторон равна 7 см. Сколько решений имеет задача?

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найти стороны треугольника.

179. Построить треугольник по двум сторонам а и bи медиане т_а, проведённой к стороне а.

180. На чертеже 69 АВ = AD и DC = ВС. Доказать, что:
a) / ADC = / АВС; б) отрезок АС является биссектрисой угла BAD.

181. На чертеже 70 AD = CF, АВ = EF, ВС = DE. Доказать, что / 1 = / 2.

182. Две окружности с центрами в точках О и О₁, пересекаются в двух точках А и В (черт. 71). Доказать, что / OBO₁= / OAO₁.

183. Построить четырёхугольник, равный данному, использовав признак равенства треугольников по трём сторонам.

Построение и признаки равенства прямоугольных треугольников.

184. Построить прямоугольный треугольник:
а) по двум катетам, равным 4,7 см и 5,5 см;
б) по катету, равному 48 мм, и прилежащему углу, равному 54°.

185. Построить прямоугольный треугольник:
а) по двум катетам а и b; б) по катету а и прилежащему углу, равному α.

186. 1) Построить равнобедренный треугольник по основанию а и высоте h.

2) Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.

187. В равнобедренном треугольнике ABC точки D и Е взяты на основании АС так, что AD = СЕ. Из точек D и Е к основанию проведены перпендикуляры до пересечения с боковыми сторонами треугольника соответственно в точках М и N.
Доказать, что DM = EN.

188. На чертеже 72 АВ_|_DB и DC_|_DB, DE = BE. Доказать, что расстояние АВ равно длине отрезка DC.

189. Доказать, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведённые из одной вершины: а) высота и медиана; б) биссектриса и высота.

190. 1) На чертеже 73 BD = BF, DE_|_ВС, FK_|_AB. Доказать, что DE = FK.

2) На чертеже 74 AD = DB = BF = FC, DE_|_ AB, FK_|_ВС. Доказать, что DE = FK.

191. Укажите несколько способов определения расстояния между двумя точками, если его нельзя измерить непосредственно.

192. Точка F, взятая на высоте CD равнобедренного треугольника ABC (AC = ВС), соединена с его вершинами при основании. Доказать, что AF = BF.

193. Построить прямоугольный треугольник по катету а и гипотенузе с.

Свойство перпендикуляра, проведённого к отрезку через его середину.

194. В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, АВ = AD. Доказать, что ВС = CD.

195. В треугольнике ABC (черт. 75) АВ = ВС =14 см. Перпендикуляр, прозедённый к боковой стороне АВ через её середину (точку D), пересекает основание треугольника в точке Е. Точка Е соединена с точкой В. Найти основание АС треугольника ABC, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

196*. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС = 18 см. Из точки D, середины стороны АВ, проведён перпендикуляр DE к стороне АВ до пересечения со стороной ВС (черт. 76). Полученная точка Е соединена с точкой А. Периметр треугольника АЕС равен 27 см. Определить длину АС.

197. 1) Начертить прямые, расположенные, как указано на чертеже 26, и через точку А провести к ним перпендикуляры. (Задачу решить при помощи циркуля и линейки.)

2) Начертить отрезок и разделить его при помощи циркуля и линейки на две равные части (на четыре равные части; на восемь равных частей).

3) При помощи циркуля и линейки найти ³/₄ отрезка а, данного на чертеже 5.

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

198. 1) В треугольнике ABC АВ = 4 см, ВС=5см, AC = 6 см. Сравнить углы А, В и С этого треугольника.

2) В треугольнике ABC ВС > АС > АВ. Какой из углов больше:
а) угол В или угол А; б) угол С или угол A?

199. Какой вид имеет треугольник, если известно, что:
а) два его угла равны между собой; б) три его угла равны между собой?

Проекция отрезка на прямую. Перпендикуляр и наклонные.

200. Построить проекции равных отрезков, расположив их так, как это указано на чертеже 77. В каком случае проекция отрезка будет наименьшей? В каком случае проекция отрезка будет наибольшей (без доказательства)?

201. Из точки, взятой на расстоянии 4 см от прямой, проведены к ней две наклонные, образующие с этой прямой углы, равные50°.Выполнить построение и измерить:
а) длины наклонных; б) расстояние между основаниями наклонных.
Как найти проекцию одной из наклонных, если известно расстояние между основаниями наклонных?

202. Из точки, взятой на расстоянии 6,5 см от прямой, провести к ней две наклонные длиной 9 см и 7,5 см. Измерить расстояние между основаниями наклонных для двух случаев расположения наклонных.

Деление угла пополам.

203. 1) Начертить произвольный угол. Найти построением: а) ¹/₄ ; б) ³/₈ этого угла.

2) Построить треугольник, один из углов которого был бы равен данному, а другой — его половине.

204. При помощи циркуля и линейки построить углы, равные  90°, 45°, 135°, 22°30'.

ОТВЕТЫ