ГЛАВА IV.

ПОВТОРЕНИЕ.

302. Написать все соотношения между указанными на чертеже 111 углами треугольника.

303. Построить прямоугольный треугольник по катету, равному 6 см, и биссектрисе его прямого угла, равной 4 см.

304. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, проведённой к боковой стороне.

305. Построить треугольник по стороне, медиане, проведённой к другой стороне, и углу, который образует эта медиана с данной стороной.

306*. Через данную точку М провести прямую, проходящую через лежащую вне чертежа точку пересечения данных прямых а и b(черт. 112).

307*. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и точка А, лежащая на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его высоты лежали на трёх данных прямых.

308*. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и точка А на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его биссектрисы лежали на трёх данных прямых.

Указание. Биссектрисы углов треугольника являются осями симметрии соответствующих углов. Следовательно, точка, симметричная вершине треугольника относительно какой-либо биссектрисы, лежит на соответствующей стороне угла или на её продолжении.

309. Построить проекции сторон АВ и ВС треугольника ABC на сторону АС (или на её продолжение). Рассмотреть случаи, когда:
а) треугольник ABC — остроугольный;
б) угол В — прямой;
в) угол С — прямой;
г) угол С — тупой.

310. Две вешки установлены строго по отвесу. Можно ли утверждать, что они параллельны?

311. Даны две параллельные и их секущая. Биссектриса одного из внутренних углов .составляет с другой параллельной прямой угол в 42°. Найти все углы, образованные при пересечении этих прямых данной секущей.

312. На чертеже 113 АВ || CD. Найти угол х.

313. Доказать, что прямая, пересекающая равнобедренный треугольник и параллельная одной из его сторон, отсекает от него равнобедренный треугольник.

314. В треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис углов В и С провести прямую, параллельную стороне ВС (черт 114) Доказать, что MN = ВМ + CN.

315. В треугольнике ABC / A = = 46°, / В = 58°. Прямая MN, проходящая через вершину А вне треугольника, образует со стороной АВ угол, равный 24°. Найти острые углы, которые образует прямая MN со стороной АС и продолжением стороны ВС.

316. 1) В треугольнике ABC / A= 72°, / В = 48°. Через вершины А и С треугольника проведены прямые, параллельные его противоподожным. сторонам. Найти углы образовавшегося треугольника.

2) В треугольнике ABC / А = 42°, / В = 86°. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найти углы наибольшего из полученных треугольников.

317. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла В, пересекающая сторону АС в точке D. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АВ в точке F. Доказать, что DF = BF.

318. Доказать, что равносторонние треугольники равны, если они имеют по равной высоте.

319. На продолжении диаметра АВ окружности с центром в точке О (черт. 115) взята точка С, через которую проведена прямая, пересекающая окружность в точках D и Е. Доказать, что если отрезок CD равен радиусу окружности, то угол ВОЕ втрое больше угла DOА.

320. Концы двух равных отрезков, лежащих на двух параллельных прямых, соединены отрезками прямых. Доказать, что эти отрезки: а) равны, если они не имеют общей точки; б) делятся, если они пересекаются, в точке пересечения пополам.

321. На чертеже 116 AD = CF, АВ = EF, ВС = DE. Доказать, что точки Ви Е находятся на одинаковом расстоянии от отрезка AF.

322. Стороны четырёхугольника MNPQ параллельны сторонам четырёхугольника ABCD (черт. 117). Зная углы четырёхугольника ABCD, найти углы четырёхугольника  MNPQ.

323. 1) Внешний угол равнобедренного треугольника равен 110°. Найти его внутренние углы (два решения).

2) Внешний угол равнобедренного треугольника в три раза больше смежного с ним угла. Найти внутренние углы треугольника (два решения).

324. Дан угол, равный 48°. Через точку, не лежащую на сторонах угла, проведена прямая, параллельная одной из сторон угла, и прямая, перпендикулярная другой стороне угла. Найти меньший угол, образованный этими прямыми.

325. Из точки, лежащей внутри угла, равного 40°, проведены два луча параллельные и два луча перпендикулярные сторонам данного угла (черт. 118). Найти величины углов 1, 2 и 3.

326. Две прямые образуют с третьей прямой углы, равные 75° и 138°. Какой наименьший угол они образуют между собой? Сколько решений имеет задача?

327. Треугольники ABC и BCD сложены своими равными сторонами ВС так, как указано на чертеже 119. В треугольнике ABC угол А равен 25°, угол ABC равен 30°, в треугольнике BDC угол D равен 63°, угол DBC равен 62°. Будут ли стороны АС и CD лежать на одной прямой?

328. Чему равен угол, образованный линиями насечек у напильников, схематично изображенных на чертеже 120?

329. На чертеже 121 АВ || CD, BF=BD, AD — отрезок прямой. Найти величину угла ABF.

330. Прямая, пересекающая две параллельные прямые, образует с одной из них угол в 150°. Найти длину отрезка секущей, заключённого между этими прямыми, если расстояние между двумя параллельными прямыми равно 46 мм.
 Примечание. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина отрезка перпендикуляра к этим прямым, заключённого между ними.

331*. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины острого угла, не совпадают.

332*. 1) На данной прямой l найти точку, удалённую от данной точки А на расстояние а.
Рассмотреть случаи, когда точка А лежит на данной прямой и когда точка А находится вне прямой l.

2) Найти точку, удалённую от одной из данных точек на расстояние а, а от другой точки — на расстояние b.

333*. 1) На данной окружности найти точку, удалённую от данной точки на расстояние d.

2) На данной прямой найти точку, одинаково удалённую от концов данного отрезка.

3) На данной прямой найти точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон данного угла.

334. Дан угол ABC и точки М и N на его сторонах. Найти точку, одинаково удалённую от точек М и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.

ОТВЕТЫ

311. 81° и 96°. 312. а) 40°; б) 80°; в) 60°. 315. 70°; 3,°. 316. 1) 48°, 60°, 72°;
2) 42°, 52°, 86°. 322. 62°, 32°, 113°, 153°. 323. 1) 55°, 55°, 70° или 70°, 70°, 40°;
2) 67° 30', 67°30', 45° или 45°, 45°, 90°. 324. 42°. 325. 50°, 40°, 50°. 326. 63° или 33°. 329. 9°. 330. 92 мм.