ГЛАВА V.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.
§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки.
Свойства параллелограммов.
341. Сумма двух углов параллелограмма равна 168°. Найти его углы.
342. Вычислить все углы параллелограмма, если:
а) один из углов параллелограмма равен 78°15';
б) один угол параллелограмма на 425 больше другого.
343. Вычислить все углы параллелограмма, если:
а) один угол параллелограмма в четыре раза больше другого;
б) углы параллелограмма относятся, как 3 : 7.
344. Периметр параллелограмма равен 152 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти длины всех сторон параллелограмма.
345. 1) Периметр параллелограмма равен 72 см. Найти его стороны, если две из его сторон относятся, как: а) 5:3; б) 0,17 : 0,13.
2) Из куска проволоки длиной 84 см надо изготовить параллелограмм, стороны которого относятся, как 3 : 4. Найти длины сторон этого параллелограмма.
346. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (черт. 122) проведён отрезок MN (точки М и N лежат на . сторонах параллелограмма).
Доказать, что AM = СМ.
347. 1) В параллелограмме ABCD диагональ BD образует со стороной CD угол, равный 68°. Z. ABC = 84°. Найти Z. ADB и Z. BCD.
2) В параллелограмме ABCD диагональ АС образует со стороной DC угол, равный 40°. Найти / ADC и / ВАС , если / ABC = 110°.
348. На чертеже 123 изображены параллелограммы. Найдите, не производя измерений, на каких чертежах допущены ошибки при простановке размеров.
349. 1) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см.
2) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 2:1, считая от вершины тупого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см.
350. В параллелограмме острый угол равен 60°. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону параллелограмма пополам. Найти меньшую диагональ параллелограмма, если его периметр равен 24 см.
351. Один из углов параллелограмма в три раза больше другого. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противоположную сторону на две части, равные 2 см и 4 см. Найти высоту параллелограмма (два решения).
352. Можно ли построить параллелограмм:
а) по двум сторонам, равным 20 см и 34 см, и диагонали, равной 52 см;
б) по стороне, равной 8 см, и двум диагоналям, равным 6 см и 10 см;
в) по диагонали, равной 6 см, и сторонам, равным 20 см и 38 см?
Признаки параллелограмма.
353. На клетчатой бумаге отмечены точки А, В, С и D (черт. 124). Доказать, что прямые АВ и CD параллельны.
354. 1) На продолжении противоположных сторон параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АК и CL (черт. 125) и отрезками прямых соединены точки В и L и точки К и D. Доказать, что полученный четырёхугольник LBKD — параллелограмм.
2) На чертеже 126 четырёхугольник ABCD—параллелограмм, АК — CL. Доказать, что точки А, К, С и L являются вершинами параллелограмма.
355. На сторонах параллелограмма отложены, как указано на чертеже 127, две пары равных отрезков BQ, BM, DN и PD: ВМ = PD и BQ = DN. Доказать, что точки Q, М, N и Р являются вершинами параллелограмма.
356. 1) На чертеже 128 дан схематический чертёж весов. AD = ВС, АВ = CD. На вертикальном стержне KL подвижно закреплены в точках К и L стержни AD и ВС (АК = KD, BL =LC), Пояснить, почему при вертикальном положении стержня КL стержни АВ и CD также занимают вертикальное положение.
2) Почему ось KL лампы, изображённой на чертеже 129, всегда вертикальна?
3) Объяснить действие линейки для вычерчивания параллельных прямых (черт. 130).
Построение параллелограммов.
357. Построить параллелограмм по двум его сторонам, равным 6 сми 5 см, и углу между ними, равному 130°.
358. Построить параллелограмм:
а) по двум сторонам, равным 4 см и 5 см, и диагонали, равной 6 см;
б) по стороне, равной 45 мм, диагонали, равной 45 мм, и углу между ними в 72°;
в) по стороне, равной 4 см, и двум диагоналям, равным 6,8 см и 4,5 см;
г) по двум диагоналям, равным 6,5 см и 4,7 см, и углу между ними в 165°;
д) по стороне, равной 4,3 см, углу, равному 152°, и диагонали, лежащей против этого угла и равной 7,2 см.
359. Построить параллелограмм:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по двум сторонам и диагонали;
в) по стороне, диагонали и углу между ними;
г) по стороне и двум диагоналям;
д) по двум диагоналям и углу между ними;
е) по стороне, диагонали и углу, лежащему против диагонали.
Центральная симметрия.
360. Построить фигуры, симметричные данным относительно данного центра О симметрии (см. стр. 131).
361. 1) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно: а) вершины прямого угла; б) середины гипотенузы.
2) Построить треугольник, симметричный произвольному треугольнику относительно середины его какой-либо стороны. Определить вид фигуры, образованной данным треугольником и построенной ему симметричной фигурой.
362. 1) На какой наименьший угол нужно повернуть параллелограмм относительно его центра симметрии, чтобы фигуры в новом и прежнем положениях совпали?
2) На какой наименьший угол нужно повернуть фигуры, данные на чертеже 132, относительно их центров симметрии, чтобы фигуры в новом и прежнем положениях совпали?
363. 1) Доказать, что прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллелограмма, пересекает его стороны в точках, центрально-симметричных относительно точки О.
2) На основании свойств центрально-симметричных фигур доказать равенство отрезков AM и NC на чертеже 122 (задача 346).
3) В параллелограмме ABCD отрезок MN проходит через точку О пересечения его диагоналей (черт. 122). Доказать, что фигура AMND после поворота её на 180° вокруг точки О совместится с фигурой CNMB.
364. На чертеже 133 указать фигуры, имеющие оси симметрии и центры симметрии.
365. Указать, где находятся центры симметрии:
а) отрезка;
б) окружности;
в*) прямой линии;
г*) пересекающихся прямых линий;
д*) двух параллельных прямых.
366. 1) Привести примеры центрально-симметричных фигур, которые вы наблюдали в природе, в мастерских, на производстве, в быту.
2) Начертить какие-либо три фигуры, имеющие центр симметрии.
Разные задачи на параллелограмм.
367. Назовите примеры использования свойств параллелограмма на практике.
368. Сколько различных параллелограммов можно составить из двух равных треугольников, если они: а) разносторонние; б) равнобедренные; в) равносторонние?
369. Доказать, что в параллелограмме ABCD противоположные вершины В и D находятся на одинаковом расстоянии от диагонали АС.
370. 1) Доказать, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают.
В каком случае биссектрисы противоположных углов параллелограмма совпадают?
2) Доказать, что биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
371. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов В и D пересекают диагональ АС в точках М и N (черт. 134). Доказать, что точки В, N, D и М являются вершинами параллелограмма.
372. Биссектрисы углов параллелограмма пересекают его стороны в точках М, N, Р и Q (черт. 135). Провести отрезки MQ и NP и определить вид полученного четырёхугольника MNPQ.
373*. В параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ. Доказать.
374*. 1) Доказать, что в параллелограмме угол между высотами, проведёнными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма.
2) Доказать, что в параллелограмме угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.
375. Два угла параллелограмма относятся, как 1: 3. Найти угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины: а) тупого угла; б) острого.угла.
376. Через данную внутри угла точку провести прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между сторонами угла, делился в этой точке пополам.
377. Построить треугольник, если известны две его стороны а и b и медиана тс, проведённая к третьей стороне.
378. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.
Указание. Продолжить медиану за сторону, к которой она проведена, на отрезок, равный самой медиане, и соединить конец полученного отрезка с вершинами треугольника
379. Доказать, что два треугольника равны, если две стороны и медиана, заключённая между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, заключённой между ними, другого треугольника.
Указание. Достроить треугольники до параллелограммов.
380. Если через точку пересечения диагоналей параллелограмма провести две прямые и соединить последовательно точки пересечения этих прямых со сторонами параллелограмма, то полученный четырёхугольник будет параллелограммом. Доказать.
381. Треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1 (черт. 136). AC1 =20 см; A1С=12 см. Найти расстояние между точками В и В1.
382. На чертеже 137 ABCD и ABEF — параллелограммы. Доказать, что четырёхугольник DCEF — параллелограмм.
383. Доказать, что четырёухгольник ABCD, у которого сумма углов А и В равна 180° и / А = / С, является параллелограммом.
384. 1) В параллелограмме ABCD перпендикуляры, проведённые через вершины тупых углов к диагонали АС, пересекают её в точках М и N (черт. 138).
Доказать, что BN = DM.
2) Точки Е и F — середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD (черт. 139).
Доказать, что BF = DE.
385. В четырёхугольнике ABCD АС — диагональ, АВ||DC, АВ = CD, FD = BG (черт. 140). Доказать, что отрезок FG делится в точке пересечения его с диагональю АС пополам.
386. 1) Даны две пересекающиеся прямые и лежащая вне их точка. Построить параллелограмм, две стороны которого находились бы на данных прямых, а одна из вершин — в данной точке.
2) Дан отрезок АВ и точка М, не лежащая на прямой АВ. Построить параллелограмм так, чтобы одной из его сторон был отрезок АВ, а точка М являлась точкой пересечения диагоналей.
3) Дан отрезок АВ и точка М, не лежащая на прямой АВ. Построить параллелограмм, одна из сторон которого совпала бы с отрезком АВ, а другая делилась бы в точке М пополам (три решения).
387. Середины (точки F и Е) параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены с вершинами D и В отрезками прямых (черт. 141). Доказать, что эти отрезки делят диагональ на три равные части.
ОТВЕТЫ
341. 84°. 96°. 342. а) 78°15' и 101°45'; б)69° и 111°. 343. а) 36° и 144°; б) 54° и 126°.
344. 25,5 см и 50,5 см. 345. 1) а) 22,5 см и 13,5 см; б) 20,4 см и 15,6 см;
2) 18 см и 24 см. 347. 1) 16°, 96°; 2) 110°, 40°. 348. а), в), д), е).
349. 1) 12 см и 18 см; 2) 7,5 см и 22,5 см. 350. 6 см. 351. 2 см или 4 см.
362. 1) 180°; 2) 60°, 180°. 375. а) 45°; б) 135°. 381. 4 см.