ГЛАВА V.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 16. Частные виды параллелограмма.

Прямоугольник.

388. В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, соответственно равны 4 см и 6 см. Определить периметр этого прямоугольника.

389. В прямоугольнике диагонали образуют угол, равный 50°. Определить углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

390. Перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 2: 3. Определить:
а) углы, образованные диагоналями со сторонами прямоугольника;
б) угол, образованный проведённым перпендикуляром со второй диагональю.

391. Построить прямоугольник:
а) по двум его смежным сторонам;
б) по диагонали и углу, образованному диагональю со стороной;
в) по стороне и диагонали;
г) по диагонали и углу между диагоналями.

392. 1) Если в четырёхугольнике три внутренних угла прямые, то его противоположные стороны параллельны. Доказать.

2*) Доказать, что если в четырёхугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является прямоугольником.

393. Биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Доказать.

394. Из четырёх попарно равных планок связана рамка прямоугольной формы. Достаточно ли для проверки правильности изготовления рамки проверить равенство её диагоналей?

Разные задачи.

395. 1) Для определения расстояния АВ, которое нельзя измерить непосредственно, на местности построили прямые углы BAD и ABC с вершинами в точках А иВ
(черт. 142) и на сторонах углов отложили равные отрезки AD и ВС. Доказать, что расстояние между точками А и В равно расстоянию между точками D и С.

2) Как на местности измерить расстояние между точками А и В, используя свойство сторон параллелограмма? Приведите примеры.

396. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

397. 1) Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 6 см, проведены прямые, параллельные его катетам. Определить вид полученного четырёхугольника и найти его диагонали.

2) В треугольнике ABC Z.C = 90°, АС = ВС = 5 см; через точку К, взятую на стороне АВ, проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося четырёхугольника.

3) В прямоугольном треугольнике ABC / С = 90° и CD_|_ AB, из точки D (черт. 143) проведены отрезки DL и DK, перпендикулярные катетам треугольника. Доказать, что расстояния между точками С и D и точками К и L равны.

398. Между сторонами острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к одной из сторон данного угла.

399. 1) Найти точку, которая была бы удалена на расстояние а от данной точки и от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

2) Найти точку, одинаково удалённую от сторон данного угла и находящуюся на расстоянии а от данной прямой.

400. Провести биссектрису угла, вершина которого находится вне чертежа.

401. 1) Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них.

2) Построить треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и углу, который образует с этой стороной высота, проведённая к другой стороне.

3) Построить треугольник по углу и двум высотам, проведённым к сторонам этого угла.

402. 1) Построить параллелограмм по высоте, равной 4 см, стороне, равной 5 см, и диагонали, равной 6 см.

2) Построить треугольник по стороне, равной 5 см, высоте, равной 4 см, проведённой к этой стороне, и медиане, равной 6 см, проведённой к другой стороне.

3) Построить параллелограмм по двум диагоналям и высоте.

Ромб.

403. 1) Из каких двух равных треугольников можно сложить ромб?

2) Из каких четырёх равных треугольников можно сложить ромб?

404. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне.

а) Чему равны углы ромба?

б) Найти углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

405. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся, как 2 : 3. Определить углы ромба.

406. 1) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 30°. Найти: а) углы ромба; б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

2) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 120°.
Найти: а) углы ромба;
б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

407. В ромбе высота, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найти: а) углы ромба;
б) периметр ромба, если меньшая его диагональ равна 20 мм.

408. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольный кусок материи имеет форму ромба, проверить совпадение краёв куска при сгибании его по каждой диагонали?

409. 1) Доказать, что всякий параллелограмм, у которого одна из диагоналей делит его угол пополам, есть ромб.

2) Если в четырёхугольнике ABCD диагонали являются биссектрисами всех его углов, то этот четырёхугольник — ромб. Доказать.
Указание. Сначала рассмотреть треугольники ABC и CDА, а затем треугольники BCD и ABD.

410. Построить ромб:
а) по стороне и диагонали;
б) по двум диагоналям;
в) по стороне и прилежащему углу;
г) по высоте и диагонали;
д) по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла;
е) по диагонали и противолежащему ей углу.

411. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковая сторона равна 14 см. Построить треугольник, симметричный данному относительно середины его основания, и определить периметр и меньшую диагональ полученного четырёхугольника.

412. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к отрезку через его середину (длина отрезка больше ширины линейки).
Указание. Пользуясь только двусторонней линейкой, построить ромб, одной из диагоналей которого является данный отрезок, а высота равна ширине линейки (черт. 144).

413. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к прямой через данную на ней точку.
Указание. Построить ромб, диагональ которого лежит на данной прямой и делится в данной точке пополам.

414*. По схемам раздвижного кронштейна и раздвижной решётки, данным на чертеже 145, объяснить, почему точки А, В, С, D всегда располагаются на одной прямой.

415. Из каких двух равных треугольников можно сложить квадрат? Из каких четырёх равных треугольников можно сложить квадрат (два решения)?

416. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольник — квадрат, проверить равенство и перпендикулярность его диагоналей?

417. Доказать, что всякий ромб, у которого диагонали равны, есть квадрат.

418. Середины сторон квадрата последовательно соединены. Определить вид полученной фигуры.

419. Построить квадрат: а) по данной его стороне а; б) по данной его диагонали b.

420. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены, как указано на чертеже 146, равные отрезки АА₁, BB₁, CC₁ и DD₁; точки A₁, В₁, С₁ и D₁ последовательно соединены. Доказать, что полученный четырехугольник A₁B₁C₁D₁ является квадратом.

421. Диагональ квадрата равна 12 см. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

422. Дан квадрат, сторона которого равна 1 м; его диагональ служит стороной другого квадрата. Найти диагональ второго квадрата.

423. Диагональ квадрата равна 6 м. Его сторона служит диагональю второго квадрата. Определить сторону второго квадрата.

424. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата, если катет треугольника равен а.

425*. Доказать, что если диагонали четырёхугольника равны, делят его углы пополам и взаимно перпендикулярны, то такой четырёхугольник есть квадрат. Какое условие является лишним?

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми.

426. В треугольнике ABC АВ=12 см, АС = 24см. Сторона ВС разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ. Найти отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника, и отрезки, полученные на стороне АС.

427. Используя свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми, на прямых решить задачу 387.

428. Для того чтобы резделить полосу шириной АВ на несколько, например на пять, одинаковых полос, масштабную линейку расположили так, как это указано на чертеже 147, и отметили точки, соответствующие сантиметровым делениям.

Затем через отмеченные точки провели прямые, параллельные краю полосы. Почему отрезок АВ разделился этими параллельными прямыми на пять равных частей?

Средняя линия треугольника.

429. Раствор АВ полевого циркуля (черт. 148) обычно равен 1 м или 2 м. Найти длину распорки MN, придающей ему жёсткость, если она соединяет середины ножек циркуля.

430. 1) Стороны треугольника относятся, как 3:4:5, периметр его равен 60 см. Найти периметр и стороны треугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного треугольника.

2) Стороны треугольника относятся, как 7:8:9. Периметр треугольника, вершинами которого служат середины его сторон, равен 24 см. Найти стороны данного треугольника.

431. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Каждая диагональ параллелограмма разделена на четыре равные части, и точки, делящие диагонали в отношении 1:3 и 3:1, последовательно соединены (черт. 149), Найти вид полученного четырёхугольника и вычислить его периметр.

432. Середины сторон произвольного четырёхугольника соединены так, как это показано на чертеже 150. Найти длины этих отрезков, если не пересекающая их диагональ равна 24 см.

433. В четырёхугольнике ABCD АВ = ВС и CD = AD. Середины сторон четырёхугольника последовательно соединены. Доказать, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.

434. 1) Прямые, проведённые через вершины А, В и С треугольника ABC параллельно противолежащим сторонам, образуют треугольник A₁B₁C₁, стороны которого делятся точками А, В и С пополам. Доказать.

2) Найти стороны треугольника, построенного, как указано в предыдущей задаче, если АВ = 6 см, ВС = 12 см, АС = 15 см.

435. Через точку М, данную внутри угла ABC, провести прямую, отрезок которой, заключённый между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

436. Через вершину угла С треугольника ABC проведена вне его прямая (черт. 151); проекции сторон АС и ВС на проведённую прямую равны 10 см и 6 см. Найти проекции на эту прямую всех медиан треугольника.

437. Объяснить, как, пользуясь свойством средней линии треугольника, можно определить расстояние между двумя точками Aи В, одна из которых недоступна (черт. 152).Как должна быть выбрана третья точка (точка С)? Обязательно ли угол А должен быть прямым?

438. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол, равный 60°. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

439. В треугольнике ABC MN — средняя линия (черт. 153). через точку В проведён отрезок BD до пересечения с продолжением стороны АС (точка D). На какие части делится отрезок BD продолжением средней линии MN?

440* На чертеже 154 BD — высота треугольника ABC, BK = KD и AL = LC,
MN || АС. Доказать, что отрезок РQ, параллельный высоте BD, делится отрезком KL пополам. Какое условие яаляется лишним?

ОТВЕТЫ

389. 25° и 65°. 390. а) 36° и 54°; б) 18°. 397. 1) 3 см; 2) 10 см. 404. а) 60° и 120°; б) 30° и 60°. 405.72° и 108°. 406. 1)30° и 150°; б) 15° и 75°; 2) а) 60° и 120°; б) 30° и 60°. 407. а) 60° и 120°; б) 80 мм. 411. 56 см и 11 см. 421. 48 см. 422. 2 м. 423. 3 м. 424. 2 а. 426. 3 см, 6 см, 9 см, 6 см.  429. 0,5 м или 1 м. 430. 1) 30 см, 7,5 см, 10 см, см12,5 см;
2) 14 см, 16 см, 18 см. 431. 14 см. 432. 12 см, 12 см. 436. 2 см, 11 см, 13 см. 438. 80 см