ГЛАВА VII.

ОКРУЖНОСТЬ.

§ 21. Окружность.

606. В окружности радиуса 2,8 см провести через взятую на ней точку хорду, равную
4 см. Сколько может быть проведено хорд, удовлетворяющих этому условию?

607. Окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через её центр. Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны.

608. Концы двух взаимно перпендикулярных диаметров последовательно соединены. Определить вид полученного четырёхугольника.

609. Сколько градусов содержит дуга окружности, если радиус, проведённый в её конец, составляет с хордой, стягивающей эту дугу, угол, равный 42°?

610. В окружности проведены две хорды CC₁ и DD₁ перпендикулярные диаметру АВ
(точки С и D находятся по одну сторону диаметра АВ). Доказать, что отрезок MM₁, соединяющий середины хорд CD и C₁D₁, перпендикулярен отрезку АВ.

611. Хорда окружности пересекает её диаметр под углом 60° и делится им на части, равные 8 см и 3 см. Найти проекцию хорды на этот диаметр.

612. Хорда окружности пересекает её диаметр под углом, равным 30°, и делится им на части, равные 6 см и 12 см. Найти:
а) расстояние от концов хорды до диаметра;
б) расстояние от середины хорды до диаметра.

613. Построить окружность, проходящую через две данные точки. Где находятся центры окружностей, проходящих через эти две точки? Чему равен радиус наименьшей из этих окружностей.

614. 1) На данной прямой найти центр окружнoсти, проходящей через две данные точки. Когда задача не имеет решения?

2) Через две данные точки провести окружность с центром на данной окружности. Когда задача имеет одно решение; два решения? Когда задача не имеет решения?

615. Перечертить по клеточкам точки А, В и С (черт. 196). Через эти три точки провести окружность и измерить её радиус.

616. 1) Сторона равностороннего треугольника равна 60 мм. Описать около этого треугольника окружность и измерить её радиус.

2) Стороны треугольника равны 50 мм, 80 мм и 100 мм. Описать около этого треугольника окружность и измерить её диаметр.

617. Через вершины равнобедренного треугольника, у которого основание равно 6 см и один из углов равен 30°, провести окружность и измерить её диаметр (два решения).

618. Описать около прямоугольного треугольника окружность.
Указание. Использовать свойство медианы, проведённой к гипотенузе.

Зависимость между хордами и дугами в круге.

619. 1) Начертить окружность и отметить на ней точку С и дугу АВ. На этой же окружности построить дугу, равную дуге АВ, с началом в точке С.

2) Начертить окружность и отметить на ней дугу АВ. На этой же окружности построить дугу, равную удвоенной дуге АВ. Измерить хорды, стягивающие дугу АВ и
удвоенную дугу, и убедиться, что при увеличении дуги в два раза соответствующая ей хорда не увеличивается в два раза.

3) Построить окружность, обозначить на ней дугу АВ и на этой окружности построить дугу, равную утроенной дуге АВ.

620. 1) Циркулем (путём проб) разделить построенную произвольную окружность на пять равных частей.

2) Построить дугу окружности и циркулем (путём проб) разделить её на:
а) две равные части; б) три равные части.

621. Вычертить в натуральную величину деталь по размерам, данным на чертеже 197
(размеры даны в миллиметрах).

Диаметр, перпендикуляоный к хорде.

622. Хорда, равная 16 см, отсекает от окружности дугу в 90°. Найти расстояние от центра окружности до хорды.

623. Хорда, проведённая в окружности радиуса 15 см, отсекает от окружности дугу в  120°. Найти расстояние от центра окружности до хорды.

624. Доказать, что две параллельные хорды окружности, проведённые через концы, одного и того же диаметра, равны.

625. В окружности проведены две параллельные хорды, отсекающие от неё дуги в 90°. Найти расстояние между хордами, если длина одной из хорд равна 12 см.

626. Хорда окружности, перпендикулярная к другой хорде той же окружности и проходящая через её середину, является диаметром этой окружности. Доказать.

627. 1) Разделить данную хорду окружности пополам. Указать несколько способов решения.

2) Через данную внутри окружности точку провести хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

628. В окружности через середину радиуса проведена перпендикулярная ему хорда. Доказать, что эта хорда видна из центра окружности под углом, равным 120°.

629. В окружности радиуса 10 см проведена хорда, отсекающая от окружности дугу в 120°. Определить, на какие части делит хорда диаметр, проведённый через её середину.

630. В окружности через середину хорды АВ, точку F, проведён диаметр CD. Найти длину отрезка АС, если АВ = 10 см, CF = 12 см.

631. Из точки А, взятой на окружности, проведены две хорды АВ и АС, равные радиусу окружности. Точки В и С соединены отрезком прямой. Найти расстояние от центра окружности до хорды ВС, если радиус окружности равен 10 см.

632. 1) Через вершины равнобедренной трапеции проведена окружность, основания трапеции отсекают от неё дуги в 120° и 20°. Определить дуги, отсекаемые боковыми сторонами (два решения).

2) Центр О окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD (АВ и CD — основания трапеции), соединён с вершинами трапеции.
Доказать, что /  AОD = /  BOC.

633. Найти боковую сторону и высоту равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен 120°, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

ОТВЕТЫ