ГЛАВА VII.

ОКРУЖНОСТЬ.

§ 23. Вписанные углы.

659. Определить углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24°51'.

660. Хорда делит окружность на две части, отношение которых равно 4 : 5. Под каким углом видна хорда из точек окружности (рассмотреть точки, принадлежащие обеим дугaм)?

661. Окружность разделена тремя точками на части, относящиеся, как 2:3:4, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

662. Данная хорда видна из некоторой точки окружности  под углом 41°15'. Найти дуги, на которые данная хорда делит окружность.

663. Окружность разделена на части в отношении 3:7:5:3. Определить внутренние углы многоугольника, полученного последовательным соединением точек деления, и углы, которые образует диагональ, проведённая из вершины большего угла многоугольника, с его сторонами.

664. 1) Как, пользуясь чертёжным треугольником, наметить точки окружности данного диаметра?

2) Как, пользуясь чертёжным треугольником, найти центр данной окружности?

3) При помощи эккера отметить на местности несколько точек окружности, диаметр которой обозначен двумя вешками.

665. Используя свойство вписанных углов, построить прямоугольный треугольник по катету, равному 6 см, и проекции его на гипотенузу, равной 4 см. Измерить гипотенузу.

666. Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг, является равнобедренной трапецией.

667. В окружность вписана трапеция, диагональ которой совпадает с биссектрисой угла при основании. Определить дуги, на которые делят , окружность вершины трапеции, если один из углов трапеции равен 81°.

668. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 62°. Полуокружность, описанная на боковой стороне треугольника как на диаметре, делится другими сторонами треугольника на три дуги. Сколько градусов содержат эти дуги?

669*. Через точки М и N пересечения двух окружностей (черт. 203) проведены два параллельных отрезка АВ и CD (точки А, В, С и D лежат на окружностях). Доказать, что эти отрезки равны.

Угол, составленный касательной и хордой.

670. Хорда АВ стягивает дугу в 46°. Определить углы, которые образует хорда с касательными к окружности, проведёнными через её концы.

671. Секущая, проведённая через точку касания двух окружностей, делит их на четыре дуги. Доказать, что пары дуг, расположенные по разные стороны секущей и принадлежащие разным окружностям, содержат одинаковое число градусов (случай внешнего касания окружностей).

672. В угол ABC вписана окружность, точки касания делят окружность на две части, относящиеся, как 5 : 4. Определить величину угла ABC.

673. Через концы хорды, делящей окружность в отношении 2 : 7, проведены две касательные. Определить углы полученного треугольника.

674. Окружность разделена точками А, В, С на дуги, относящиеся, как 11 : 3 : 4. Через точки А, В и С проведены касательные до их взаимного пересечения. Определить углы образовавшегося треугольника.

675*. К двум окружностям с центрами в точках О и O₁, касающимся извне в точке А, проведена общая касательная ВС (В и С — точки касания). Доказать, что угол ВАС — прямой.

ОТВЕТЫ