ГЛАВА VII.

ПОВТОРЕНИЕ.

723. Доказать, что две прямые, перпендикулярные двум пересекающимся прямым, также пересекаются.

724. 1) Построить параллелограмм, три вершины которого находились бы в данных точках. Сколько решений имеет задача?

2) Построить параллелограмм так, чтобы середины трёх его сторон находились в данных точках. Сколько решений имеет задача?

725. 1) Доказать, что всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб.

2) Доказать, что если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник есть ромб.

726*. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и точка А на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его медианы лежали на трёх данных прямых.

727. Найти отрезок средней линии трапеции, заключённой между диагоналями трапеции, если её основания равны 54 см и 78 см.

728. В ромб с диагоналями, равными 10 см и 24 см, вписан четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба. Определить вид четырёхугольника и его периметр.

729. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см, проведены прямые, параллельные катетам. Определить периметр полученного прямоугольника.

730*. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом, и точка их пересечения находится на средней линии трапеции. Доказать.

731. Построить равнобедренную трапецию по средней линии, равной 6 см, высоте, равной 4 см, боковой стороне, равной 4,8 см.

732. 1) В параллелограмме высоты относятся, как 2 : 3. Найти отношение смежных сторон.

2) Периметр параллелограмма равен 48 см, его высоты относятся, как 1 : 3. Найти стороны параллелограмма.

733. В треугольнике стороны относятся, как 4:5:6. Как относятся высоты треугольника?

734. В треугольнике ABC АВ = 10 см, ВС = 20 см; высота, проведённая из вершины А, равна 5 см. Найти высоту, проведённую из вершины С.

735. 1) Площадь треугольника равна 15 см². Определить площадь треугольника с той же высотой, но с основанием в три раза большим, чем основание первого треугольника.

2) Точка D лежит на стороне АВ треугольника ABC. Как относятся отрезки AD и DB, если площадь треугольника ACD в три раза меньше площади треугольника ABC?

736. Плошадь треугольника равна 15 дм². Найти две его стороны, если известно, что они относятся, как 3 ; 5, и угол между ними равен 30°.

737. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Треугольники DАО и DOC равновелики. Доказать, что треугольники ВАО и ВСО также равновелики.

738. Основания трапеции равны 3 см и 16 см, боковая сторона, равная 3 см, составляет с основанием угол в 30°. Найти площадь трапеции.

739. В прямоугольной трапеции ABCD (АВ || CD) АВ = 16 см и CD = 10 см, меньшая боковая сторона равна 8 см. Найти периметр трапеции.

740. Через вершины вписанного в окружность прямоугольника проведены касательные к окружности. Определить вид полученного четырёхугольника.

741. Около круга радиуса R описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Найти периметр треугольника.

742. На чертеже 214 изображён кручёный стальной канат. Сколько осей симметрии имеет фигура в сечении каната? Имеет ли эта фигура центр симметрии?

743. Через точку касания двух окружностей проведена к ним общая касательная. Доказать, что касательные, проведённые к этим окружностям из точки, взятой на их общей касательной, равны.

744. Найти размеры заготовки из листового материала по размерам, данным на чертеже 215. Припуск на опиловку краёв не учитывать.

745. 1) На сколько переместится рейка II при одном обороте шестерни I, если диаметр d_H её начальной окружности равен 60 мм (черт. 216)?

2) На сколько переместится рейка II при повороте шестерни I на 35°, если диаметр d_H её начальной окружности равен 100 мм (черт. 216).

746. На чертеже 217 точки А, В, С и D находятся на окружности,
/  ADC = 42°, /  ACB = 58°. Вычислить величину угла CAB.

747. На окружности отмечены точки А, В, С и D так, что меньшие дуги АС и BD равны. Доказать, что треугольники ABC и BCD равны.

748. Точка С делит пополам дугу АВ окружности (черт. 218). Доказать, что расстояния от точки С до хорды АВ и до касательной, проходящей через точку А, равны.

749. Пусть через три данные точки А, В и С надо провести дугу окружности, но центр этой окружности недоступен. Тогда находят несколько точек, лежащих на искомсй дуге. Для этого поступают следующим образом: проводят биссектрису какого-нибудь из углов, например угла ВСА, и через середину отрезка АВ проводят к нему перпендикуляр. Доказать, что точка пересечения перпендикуляра и биссектрисы находится на окружности, проходящей через точки A, В и С.

750*. Диаметр ведущего катка II фрикционной передачи (черт. 219) равен 150 мм. На сколько градусов повернётся ведомый диск I за один оборот ведущего катка II, если точка D, точка касания катка и диска, отстоит от центра О диска на 140 мм?

751. По данным на чертежах 220 и 221 размерам фигур вычислить их площади.

752. По данным на чертежах 222 и 223 размерам фигур вычислить их полные поверхности и объёмы, считая все параллелепипеды прямоугольными, а призмы и цилиндр прямыми.

ОТВЕТЫ