ГЛАВА IX.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 26. Пропорциональные отрезки.

Отношение отрезков.

753. Найти отношения отрезков а и b, b и с, с и а (черт. 224). В этой и следующих задачах точность измерения выбирается учащимися самостоятельно.

754. В треугольнике ABC (черт. 225) найти отношения ^AB/_BCи ^AC/_AB.

755. Может ли отношение катета к гипотенузе прямоугольного треугольника быть:
а) меньше единицы; б) равно единице; в) больше единицы?

756. 1) Вычислить отношение катета к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

2) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Найти отношение каждого его катета к гипотенузе.

3) Найти отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне.

757. Построить прямоугольный треугольник с острым углом в 40° и найти отношение: а) меньшего катета к гипотенузе; б) меньшего катета к большему.

758. Отрезок АВ длиной а разделён точкой С на отрезки АС и СВ, отношение которых равно m : п. Выразить длины отрезков АС и ВС через числа а, т и п.

759. Отрезок АВ разделён точками С и D (АС < AD) на отрезки AC, CD и DB; их длины равны соответственно а, b и с. Найти, какие части отрезка АВ составляют отрезки AC, CD и AD.

760. Отрезок АВ равен 6 см. Точки М и N лежат на прямой АВ, точка М находится на отрезке АВ, AM : MB = 2:3, точка N лежит вне отрезка АВ и AN : NB = 4:3. Найти расстояние между точками М и N.

761. На отрезке АВ длиной 6 см на расстоянии 3,6 см от точки А дана точка С. На продолжении отрезка АВ за точкой В построить такую точку D, чтобы расстояние её от точки А относилось к расстоянию её от точки В, как АС : СВ.

Пропорциональные отрезки.

762. Какое минимальное число разных отрезков должно быть для того, чтобы можно было поставить вопрос о пропорциональности этих отрезков?

763. Определить, пропорциональны ли пары отрезков a, b и с, d, если их длины равны:
а) а = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см;
б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см.

764. Среди отрезков а, b, с, d и е выбрать пары пропорциональных отрезков, если
а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d =35 см, е = 4 см.

765. 1) Даны три отрезка а, b и с. Какова должна быть величина четвёртого отрезка d, чтобы эти четыре отрезка были пропорциональны, если а = 6 см, b = 3 см, с = 4 см, а отрезок d должен быть больше каждого из данных отрезков?

2) Даны три отрезка a, b и с. Какова должна быть величина четвёртого отрезка d, чтобы эти отрезки были пропорциональны, если а = 1, b = 2, с = 3? Сколько решений имеет задача?

766. Точка D взята на . стороне АВ треугольника ABC (АВ=6 см, ВС=9 см) на расстоянии 2 см от вершины А. На какие части разделит сторону ВС прямая, проведённая через точку D параллельно стороне АС?

767. На чертеже 226 АВ || CD || EF || KL, AС = 25 мм, СE = 40 мм, ЕК = 20 мм. Найти отрезки BD, DF, DL, если BL = 125 мм.

768. Стороны угла А пересечены двумя параллельными прямыми ВС и DE (точки В и D находятся на одной стороне угла, точки С и Е — на другой). Найти:
 а) АЕ, если АВ = 8 м, AD = 12 м, АС = 10 м;
 б) AD, если АС : АЕ = ³/₁₁: 0,6 и BD = 12 дм;
 в) АВ, если АВ + AD = 21 м, АС = 12 м и АЕ = 16 м.

769. Через точку D, взятую на стороне АВ треугольника ABC, проведён отрезок DF, параллельный стороне АС. Найти отрезок BF, если AD : DB = 5 : 6, ВС = 22 см.

770. На сторонах угла ABC взяты четыре точки: К, L, М и N (точки М и N — на одной стороне угла). Определить, параллельны ли прямые LM и KN, если
ВМ = MN, BL = LК.

771. В треугольнике ABC сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ, равной 18 см. Определить отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника.

772. Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Определить отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции.

773. На чертеже 227 АВ || DC || KL, AD : DK : KF = 2:3:2, АВ = 90 см, FC = 40 см. Найти отрезки ВС, CL, LF, DC и KL.

774. 1) Построить две окружности с центрами в точках О₁ и О₂, касающиеся между собой внешним образом, при условии, что отношение их радиусов равно ²/₃.

2) Построить две окружности с центрами в данных точках О₁ и О₂, касающиеся между собой внутренним образом, при условии, что отношение их радиусов равно ²/₃.

775. Прямые а и b (черт. 228), имеющие общую точку О, пересечены двумя параллельными прямыми АВ и CD, точки А, В, С и D находятся на прямых а и b.
Доказать, что ^AO/_BO = ^OD/_OC.

776. Прямые а и b, имеющие общую точку О, пересечены двумя параллельными прямыми АВ и CD (черт. 228); точки А, В, С и D лежат на прямых а и b. AD = 10 см,
ОВ = 5 см, ОС = 3 см. Найти отрезки АО и OD.

ОТВЕТЫ.