ГЛАВА IX.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 27. Подобие треугольников.

Свойства подобных треугольников.

777. В подобных треугольниках ABC и A₁B₁С₁ (одинаковыми буквами названы вершины равных углов) АВ = 8 см, ВС = 10 см, А₁В₁ =5,6 см, A₁С₁ = 10,5 см.
Определить АС и B₁С₁.

778. Стороны треугольника относятся, как 5:3:7. Найти стороны ему подобного треугольника, у которого:
а) периметр равен 45 см;
б) меньшая сторона равна 5 см;
в) большая сторона равна 7 см;
г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см.

779. Периметры подобных треугольников относятся, как 10 : 9; стороны одного треугольника относятся, как 6:7:8. Определить стороны обоих треугольников, если сумма меньших сторон треугольников равна 38 см. Ответ дать с точностью до 0,05 см.

780. Если вершину треугольника перемещать параллельно противоположной стороне, то на каждой секущей, параллельной этой стороне, стороны всех образующихся треугольников отсекают равные отрезки. Доказать.

781. На чертеже 229 АВ ||DE. Написать пропорции, начинающиеся с отношений:
а) ^AB/_AC; б) ^DE/_AB; в) ^AC/_EC; г) ^BD/_DC.

782. В трапеции ABCD {А В || CD) АВ = 4 см, CD = 6 см, одна из боковых сторон равна 6 см. На сколько нужно её продолжить до встречи с продолжением другой стороны?

783. Продолжения боковых сторон AD и ВС трапеции ABCD пересекаются в точке F. Определить:
а) меньшее основание трапеции, если большее основание АВ равно 25 см, AF = 10 см, AD =4 см;
б) отрезок DF, если AF = 18 см, АВ : DC = 4 : 5.

784. Найти среднюю линию трапеции ABCD (АВ || CD), если отрезок AF (точка F — точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции) равен 5 см, AD = 4 см,
АВ = 10 см (два решения).

785. В треугольнике ABC через точку D, взятую на стороне АВ, проведён отрезок DF, параллельный стороне АС (точка F находится на стороне ВС). Найти:
а) сторону АС, если AD — 5 см, DB = Зсм, DF = 4 см;
б) сторону АВ, если AD = 4 см; DF = 6 см, АС = 8 см.

786. Две параллельные улицы пересекаются двумя улицами, выходящими из одного пункта А. Длины параллельных улиц, заключённые между лучевыми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трамвай идёт по одной из лучевых улиц от пункта А до первой из параллельных улиц 15 мин. Сколько времени он при такой же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй из параллельных улиц?

787. Стороны треугольника, заключающие угол, равный 120°, равны 6 см и 12 см. Найти биссектрису этого угла.
Указание. Через вершину одного из острых углов треугольника провести прямую, параллельную биссектрисе тупого угла, до пересечения её с продолжением противолежащей стороны.

788*. Даны две пересекающиеся прямые а и b. Построить несколько точек, для которых расстояние до прямой а в два раза меньше расстояния до прямой b.
Где находятся все точки, удовлетворяющие этому условию?

789*. В треугольнике ABC АВ = 6 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. Построить точку, для которой расстояния её от сторон АВ, ВС и АС относятся, как 1:2:3.

790. На фигурах, данных на чертеже 230, найти все подобные треугольники. (На черт, а) и в)подобие треугольников установить на глаз.)

Признаки подобия треугольников.

791. Найти неизвестный размер изображённой на чертеже 231 фигуры.

792. Из вершины угла С треугольника ABC проведён отрезок СЕ так, что Z_ ABC = Z_ АСЕ (черт. 232). Определить отрезок АЕ, если АВ = 34 см, АС = 20 см.

793. Можно ли треугольник пересечь прямой, не параллельной основанию, так, чтобы отсечь от этого треугольника ему подобный треугольник? Когда задача не имеет решения?

794. Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7 сми 5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти большее основание трапеции, если меньшее её основание равно 4 см.

795. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если:
а) равны их углы при вершине;
б) равны их углы при основании.

796. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершинах равны. Периметр первого треугольника равен 544 м. Определить его стороны, если две стороны второго треугольника относятся, как: а) 1 : 2, б) 10 : 12.

797. Доказать, что в подобных треугольниках биссектрисы сходственных углов пропорциональны сходственным сторонам.

798. Вершины вписанного в окружность треугольника делят окружность на дуги, относящиеся, как 5 : 7 : 12. Определить, подобен ли этот треугольник треугольнику, у которого два угла равны соответственно 40° и 24°.

799. Трапеция с основаниями 2 см и 5 см делится диагоналями на треугольники. Найти одну из высот каждого треугольника со стороной 2 см или 5 см, если расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до большего её основания равно 4 см.

800. 1).В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF, острый угол которого совпадает с углом треугольника А. Определить сторону АС, если известно, что стороны параллелограмма равны 6 см и 5 см, а сторона АВ равна 17 см.

2) В треугольник вписан параллелограмм, острый угол которого совпадает с углом треугольника (черт. 233). Стороны параллелограмма относятся, как 3 : 1, а стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 24 см и 36 см. Определить стороны параллелограмма.

801. Доказать, что в подобных треугольниках сходственные высоты пропорциональны сходственным сторонам.

802. Найти высоту дерева, если длина его тени равна 8,2 м, а тень от вертикального столба высотой 3 м равна 4,2 м.

803. Высота дерева может быть определена по способу, указанному на чертеже 234. Обосновать этот способ. Какие измерения (при помощи каких инструментов) нужно провести для определения высоты дерева?

804. Определить расстояние до телеграфного столба, если на расстоянии вытянутой руки он закрывается:
а) половиной спички;
б) пятнадцатикопеечной монетой (см. черт. 235).
Высота телеграфного столба равна 8 м.

805. На чертеже 236 дан один из приёмов определения высоты дерева с использованием шеста достаточно большой длины. Объяснить этот приём. Какие измерения (при помощи каких инструментов) нужно произвести для того, чтобы определить высоту дерева?

806*. На плёнке изображение дерева, находящегося на расстоянии 90 м от объектива фотоаппарата, имеет высоту 10 мм (черт. 237). Чему равна высота дерева, если расстояние от объектива до изображения равно 50 мм?

807. Для определения расстояния АВ, которое нельзя измерить непосредственно, поступили следующим образом: отметив произвольную точку М, измерили расстояния AM и ВМ и / АМВ, а затем на бумаге построили треугольник A₁M₁B₁ в котором
A₁M₁ = 0,01 AM, B₁M₁ = 0,01BM и / A₁M₁B₁ = / АМВ. Как найти расстояние АВ? Обосновать этот приём.

808. Диаметр Солнца приближённо равен 1,4 млн. км, диаметр Луны приближённо равен 3,5 тыс. км. Можно считать, что видимый диаметр Солнца равен видимому диаметру Луны, т. е. Солнце и Луна видны под одним и тем же углом зрения. Определить отношение расстояний до Солнца и Луны. Чему равно среднее расстояние от Земли до Солнца, если среднее расстояние от Земли до Луны равно 380 тыс. км?

809. Найдите ошибку в приведённом ниже «доказательстве» того, что 64 = 65.

Квадрат со стороной 8 единиц, начерченный на клетчатой бумаге, разрезан на четыре части, как показано на чертеже 238, а), и из этих частей сложена фигура, данная на чертеже 238, б), площадь которой равна 65 кв. единицам. Так как площадь квадрата равна 64 кв. единицам, то 64 = 65.
Указание. Для отыскания ошибки можно сначала выполнить более точное построение этих фигур.

810. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если равны отношения их сходственных высот и оснований.

811. Определить, подобны ли треугольники, если стороны их равны:
а) 4 см, 6 см, 9 см и 12 см, 18 см, 8 см;
б) 1,5 дм, 42 см, 20см и 21 см, 10 см, 9 см;
в) 55 см, 1,5 м, 140 см и 15 см, 14 см, 10,5 см.

812. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если равны отношения их боковых сторон и оснований.

813. Построить треугольник, подобный данному (черт. 225), так, чтобы:
а) стороны данного треугольника были в 2 раза меньше сторон построенного;
б) меньшая сторона нового треугольника равнялась бы отрезку а (черт. 224);
в) периметр треугольника равнялся бы 2с (черт. 224).

814. 1) Построить треугольник по отношению двух его сторон, равному 2 : 3, и углу, заключённому между ними, если одна из этих сторон равна 6 см.

2) Построить треугольник по отношению двух его сторон, равному 2 : 3, углу между ними и третьей стороне.

815. 1) Построить треугольник по отношению его сторон, равному 4 : 5: 7, если меньшая из его сторон равна 15 мм.

2) Построить треугольник по отношению его сторон, равному 4:6:7, если одна из сторон треугольника равна а. Сколько решений имеет задача?

816. Построить треугольник A₁B₁C₁ подобный треугольнику ABC (черт. 225), так, чтобы: а) АВ/A₁B₁= 1,3, б) BC/B₁C₁= 0,9.

817. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному 2 : 3.

818. Построить ромб по стороне и отношению диагоналей, равному 3: 5.

819. Построить параллелограмм по данному его острому углу, меньшей диагонали и отношению сторон, равному 1: 3.

Разные задачи.

820. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, концы хорд последовательно соединены. Найти пары подобных треугольников.

821. На чертеже 239 диаметры АВ и CD взаимно перпендикулярны.
Доказать, что /\ABF /\ОАЕ.

822*. В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы всех его внешних углов. Сколько при этом образовалось подобных треугольников?

823*. Диагонали АС и BD прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны (черт. 240), основание AD равно 6 см, высота трапеции равна 4 см. Найти основание ВС и диагональ АС трапеции. Определить, на какие части диагональ АС делит диагональ BD (проверить решение графически).

824. Доказать, что треугольник, образованный средними линиями треугольника, ему подобен.

825. В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и BD. Доказать, что точки С, D и Е являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.
Рассмотреть случаи, когда треугольник ABC:
а) остроугольный;
б) тупоугольный (угол А — острый).

826. Из точки Р проведены секущая PC и касательная РВ к окружности (черт. 241). Доказать, что хорда А В отсекает от треугольника ВСР подобный ему треугольник АВР.

827. Стороны параллелограмма равны 3 дм и 6 дм, расстояние между его большими сторонами равно 15 см. Определать расстояние между его меньшими сторонами. Какими способами может быть решена задача? Какой из них наиболее простой?

828. Периметр параллелограмма равен 70 см. Определить его стороны и площадь, если высоты параллелограмма равны 2 см и 5 см.

829. Основания трапеции равны 24 см и 48 см. Определить длину отрезка, заключённого внутри трапеции, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения её диагоналей.

830*. Боковая сторона AD трапеции A BCD разделена точкой Е так, что
АЕ : ED = т : п, и через точку Е проведена прямая, параллельная основаниям. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен

831. Биссектриса угла С треугольника ABC пересекает сторону АВ в точке D, через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС, пересекающая сторону ВС в точке Е. Определить отрезок DE, если ВС = а, АС = b.

832. 1) Две окружности касаются внешним образом. Секущая, прозедённая через точку касания, образует хорды, длины которых относятся, как 8 : 3. Определить радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 22 см.

2) Решить предыдущую задачу, если окружности имеют внутреннее касание.

833. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, через середину его высоты проведена прямая, параллельная одной из его боковых сторон. Найти периметр образовавшегося треугольника.

834. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см, а боковая сторона равна 9 см, вписана окружность. Определить:
а) в каком отношении делит боковую сторону треугольника точка касания её с окружностью;
б) расстояние между точками касания окружности боковых сторон треугольника.

835. B окружность вписан остроугольный треугольник ABC (черт. 242).
AD_|_BC, АК — диаметр окружности, точки С и К соединены отрезком прямой. Доказать, что /\ ADB  /\ АСК.

836. В окружность радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 8 см. Найти проекцию этого катета на гипотенузу.

837. В трапецию, основания которой равны 5 см и 10 см, вписаны две окружности, каждая из которых касается одного из оснований трапеции и обеих диагоналей. Радиус большей окружности равен 3 см. Найти радиус меньшей окружности.

838. Два равновеликих треугольника, равные основания которых  расположены на одной прямой, пересечены прямой, параллельной их основаниям. Доказать, что отрезки этой прямой, заключённые внутри треугольников, равны.

839. В треугольник ABC помещены, как указано на чертеже 243, два квадрата, стороны которых равны 5 cм и 10 см. Найти сторону АВ треугольника ABC и высоту, проведённую к этой стороне.

840. В остроугольный треугольник вписать квадрат так, чтобы все его вершины лежали на сторонах треугольника. Сколько решений имеет задача?

ОТВЕТЫ