ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

ГЛАВА II.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 7. Понятие о многоугольнике. Треугольник и его элементы.

1. Доказать, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

2. Сумма расстояний некоторой точки, взятой в плоскости треугольника, до трёх его вершин больше полупериметра треугольника. Доказать.
Исследовать случаи, когда точка находится внутри треугольника, вне его, на стороне треугольника, в его вершине.

3. Постройте равносторонний треугольник и соедините любую точку, лежащую внутри его, с вершинами треугольника. Принимая эти отрезки за стороны нового треугольника, постройте его. Всегда ли можно выполнить построение? Докажите.

§ 8. Симметрия относительно прямой.

4. Для каждой из фигур, изображённой на чертеже 1, укажите все оси симметрии.

5. Дан отрезок АВ и пересекающая его прямая. Построить треугольник ABC так, чтобы его биссектриса лежала на этой прямой. В каком случае задача не имеет решения?
Указание. Построить точку B₁ симметричную точке В относительно данной прямой.

6. На биссектрисе внешнего угла С треугольника ABC взята точка D.
Доказать, что АС + СВ < AD + DB.
Указание. Построить точку B₁, симметричную точке В относительно биссектрисы внешнего угла С.

7. На биссектрисе угла С треугольника ABC (AC > ВC) взята точка М. Доказать, что разность сторон АС и СВ больше разности отрезков AM и МВ.

§ 9. Равенство треугольников.

8. На одной стороне угла AOA₁ отложены отрезки ОА и ОВ, на другой стороне — отрезки ОA₁ и ОВ₁, ОА = ОА₁, ОВ = ОВ₁.
Доказать, что точка пересечения отрезков AB₁ и А₁В лежит на биссектрисе этого угла.
Задача может быть решена с использованием свойств осевой симметрия.

9. Доказать, что прямая, проходящая через вершину равнобедренного треугольника и точку пересечения высот, проведённых к боковым сторонам, перпендикулярна к основанию треугольника1.

10. Через точку М, взятую на основании АВ равнобедренного треугольника ABC , проведена прямая, пересекающая боковую сторону ВС и продолжение боковой стороны
АС в точках Р и Q так, что отрезки МР и MQ оказываются равными. Доказать равенство отрезков AQ и РВ.