ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ.

§ 10 — 11. Признаки параллельности; свойства углов,
образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей.

11. Через основание биссектрисы треугольника проведены прямые, параллельные его сторонам. Доказать, что отрезки этих прямых, заключённые между сторонами треугольника, равны.
Задача может быть решена с использованием свойств осевой симметрии.

12. Через точку, взятую на биссектрисе треугольника, проведены прямые, параллельные его сторонам. Отрезки этих прямых, заключённые между сторонами треугольника, оказались равными. Доказать, что в этом случае треугольник равнобедренный.

13. Докажите (сделайте чертёж), что плоскость может быть заполнена без пробелов и перекрытий:
а) любыми равными треугольниками,
б) любыми равными четырёхугольниками (выпуклыми и невыпуклыми).

§ 12. Сумма внутренних углов треугольника.

14. В произвольном треугольнике ABC из точки А проведены две прямые, пересекающие сторону ВС или её продолжение в точках L и К. Прямая AL образует со стороной АВ угол LAВ, равный углу С (черт. 2). Прямая АК образует со стороной АС угол КАС,равный углу В. Доказать, что треугольник ALK — равнобедренный.
Рассмотреть случаи, когда угол А: а) острый, б) прямой, в) тупой.

15. Во всяком треугольнике биссектриса одного из углов образует с высотой, проведённой из той же вершины, угол, равный полуразности двух других углов. Доказать.

16. Одна из биссектрис треугольника составляет угол в 100° с его стороной и равна одной из сторон, исходящих из той же вершины. Найти все углы треугольника.

17. В треугольнике ABC угол С = 30°. По другую сторону АВ построен равносторонний треугольник ABD. Доказать, что треугольник, стороны которого равны АВ, ВС и СА,— прямоугольный.
Рассмотрите случаи, когда один из углов, А или В: а) больше 120°; б) меньше 120°; в) равен 120°.

18. Построить прямоугольный треугольник:
а) по гипотенузе и сумме двух катетов;
б) по гипотенузе и разности катетов.

ОТВЕТЫ

16. 40°; 60°; 80°;