ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

ГЛАВА V.
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

§ 14. Сумма внутренних углов четырёхугольника.

19. В выпуклом четырёхугольнике биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне, образуют угол, равный полусумме двух других углов. Доказать.

20. В выпуклом четырёхугольнике биссектрисы двух противолежащих углов образуют угол, составляющий с полуразностью двух других углов угол, равный 180°. Доказать.
Указание. Использовать свойство суммы внутренних углов четырёхугольников.

21. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?
Указание. Использовать свойство суммы внешних углов многоугольника.

§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки.

22. Через середины сторон параллелограмма проведены прямые, перпендикулярные к ним. Определить вид четырёхугольника, образованного этими прямыми. Сравните углы данного параллелограмма и полученного четырехугольника.
Что особенного вы заметили относительно взаимного расположения этих фигур?

23. Медиана треугольника, заключённая между двумя его неравными сторонами, образует с меньшей из этих сторон угол, больший, чем с другой. Доказать.

24. 1) Два параллелограмма, вершины одного из которых лежат на сторонах другого, имеют общий центр. Доказать.

2) Все параллелограммы, вершины каждого из которых лежат на сторонах другого параллелограмма, имеют общий центр. Доказать.

25. В шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны. Доказать, что диагонали шестиугольника, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

26. Справедливо ли следующее предложение: четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие равны, —параллелограмм? Приведите пример.

27. Даны две точки К и L и отрезок АВ постоянной длины, который может скользить по прямой l(черт. 3). При каком положении отрезка АВ сумма отрезков КА, АВ и BL будет минимальна?

28. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники ВСМ и CDN. Доказать, что точки А, М и N являются вершинами равностороннего треугольника. Решить задачу для случая, когда треугольники ВСМ и CDN будут построены по другие стороны относительно сторон ВС и CD.

§ 16. Частные виды параллелограмма.

29. Через центр квадрата проведена прямая. Доказать, что сумма расстояний от вершин квадрата, расположенных по одну сторону прямой, равна сумме расстояний от вершин квадрата, расположенных по другую сторону прямой.

30. Через три данные точки провести параллельные прямые так, чтобы две из них были бы одинаково удалены от третьей. Сколько решений имеет задача?

31. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами квадрата.

32. Доказать, что перпендикуляры, проведённые через середины сторон ромба к этим сторонам, образуют ромб. Каково взаимное расположение осей симметрии этих ромбов?

33*. Показать, что фигуры, у которых две оси симметрии пересекаются не под прямым углом, имеют и другие оси симметрии.

34. Какими способами могут быть совмещены со своим первоначальным положением фигуры, изображённые: а) на чертеже 1? б) на чертеже 15?

35. 1) Лист бумаги сложен вчетверо, как это показано на чертеже 4, и разрезан по отрезку АВ. Определите, не разворачивая лист бумаги, какая фигура получится после разрезания. Как должна проходить линия разреза, чтобы в результате был бы получен квадрат?

2) Лист бумаги сложен так, как это показано на чертеже 5, а, и разрезан по отрезку АВ. Какая фигура окажется вырезанной? Можно ли таким образом получить: а) равнобедренный треугольник? б) правильный треугольник? в) квадрат?

3) Ответить на вопросы задачи 2) для случая, когда лист согнут так, как указано на чертеже 5, б.

Средняя линия треугольника.

36. Провести прямую, находящуюся на равных расстояниях от трёх заданных точек. Сколько решений имеет задача?

37. Построить точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон треугольника. Доказать, что эти точки являются вершинами треугольника, равного данному.

38. Точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма. Доказать.
Указание. См. задачу № 432 основного задачника.

39. Середина F стороны DC квадрата ABCD соединена с вершиной В. Из вершины А проведён перпендикуляр к отрезку BF, пересекающий этот отрезок в точке К. Доказать равенство отрезков AD и DK.

Проверить, справедливо ли аналогичное равенство, если: a) ABCD — косоугольный параллелограмм; б) ABCD — произвольный четырёхугольник.

40. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, исходящих из одной вершины (черт. 6), в два раза больше медианы треугольника, проведённой из той же вершины.

Указание. Повернуть треугольник DBE относительно вершины В на угол 90° в направлении против часовой стрелки.

41. Даны два квадрата, имеющие общую вершину (черт. 7). Доказать, что медиана ВМ треугольника ABL перпендикулярна отрезку CF.
Указание. Повернуть треугольник ABL относительно точки В на 90° по часовой стрелке.

§ 17. Трапеция.

42. Доказать, что трапеция, у которой диагонали равны,— равнобедренная.

43. Основания трапеции равны а и b, сумма углов при основании а равна 90°. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.

44. Разделить данный отрезок на три равные части, пользуясь только односторонней линейкой и циркулем и не проводя параллельных прямых.

ОТВЕТЫ.