ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

ГЛАВА VII.

ОКРУЖНОСТЬ.

§ 21. Окружность.

67. Расстояния от точки пересечения двух равных хорд (или их продолжений) одной окружности до ближайших концов этих хорд равны. Доказать.

68. Найти геометрическое место таких точек, чтобы отрезок касательной к данной окружности радиуса rот этой точки до точки касания равнялся бы заданному отрезку а.

§ 22. Взаимное положение прямой и окружности,
взаимное положение двух окружностей.

69. Через точку пересечения двух окружностей провести их секущую так, чтобы отрезок, заключённый между этими окружностями, был бы наибольшей длины.

70. Две окружности касаются внешним образом. Доказать, что их общая внутренняя касательная делит внешнюю касательную на два равных отрезка.

71. Найти геометрическое место точек касания двух окружностей, касающихся друг друга внешним образом и касающихся данной прямой в заданных точках.

72. Даны две концентрические окружности C₁и С радиуса а и 2а соответственно с центром в точке О; точка Р лежит между этими окружностями. Из точки Р как из центра радиусом ОР проведена окружность, пересекающая С в точке М. Перпендикуляр, проведённый через точку Р к прямой ОМ, пересекает окружность С в точках Е и F.
а) Доказать, что прямая EF касается окружности С₁;
б) доказать, что касательные к окружности С₁ проведённые через точки E и F, пересекаются в точке, лежащей на окружности С (точка G);
в) определить вид треугольника EFG.

§ 23. Вписанные углы.

73. Какой из треугольников, имеющих по равной стороне и противоположному углу, имеет наибольшую площадь? Доказать.
Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.

74. В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла, образуют угол 10°. Найти углы треугольника.

75. Некоторая прямая пересекает окружность с центром О в двух точках, одна из которых не помещается на чертеже. Построить отрезок диаметра, проходящего через эту точку.

76. В полуокружность с центром О вписана ломаная ABCD: АВ = ВС = a, CD = b. Доказать, что OB || CD.

77. Даны две концентрические окружности. Через точку Р, лежащую на внутренней окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды PD и РА. Прямая PD пересекает внешнюю окружность в точках С и В {СР < РВ).
а) Построить геометрическое место точек, являющихся серединами отрезка ВС, для произвольного положения точки А на внутренней окружности С.
Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.
б) Доказать, что положение центра тяжести треугольника APD не зависит от положения точки А на окружности.
в) Доказать, что средняя линия ML треугольника АОС (точка М находится на стороне АС, точка L — на стороне АО) сохраняет длину при любом положении точки А.

78. Найти углы треугольника, в котором высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.
Указание. Описать около треугольника окружность и продолжить биссектрису до её пересечения с окружностью.

79. По сторонам прямого угла скользят концы гипотенузы прямоугольного треугольника (черт. 11). Найти линию, которую описывает вершина прямого угла.

80. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между его диагоналями.
Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.

81. Построить параллелограмм по двум диагоналям и углу между его сторонами.
Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.

82. Если через каждую точку пересечения двух окружностей провести произвольную секущую, то хорды, соединяющие точки пересечения этих прямых с окружностями, будут параллельны. Доказать.

83. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведена прямая, пересекающая обе окружности. Доказать, что дуги, отсекаемые этой прямой на окружностях, лежащие по разные стороны секущей, содержат одно и то же число градусов,

84. Две окружности касаются внешним или внутренним образом. Через точку касания проведена прямая, пересекающая обе окружности в некоторых точках А иВ. Доказать, что касательные к окружностям, проведённые через эти точки, параллельны.

85. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжением сторон.

§ 24. Длина окружности и площадь круга.

88. Точка М делит диаметр АВ круга на два отрезка AM и MB. На этих отрезках как на диаметрах построены два круга. Сравните длину окружности данного круга с суммой длин окружностей двух малых кругов.

87. Из вершин прямоугольного треугольника как из центров радиусами, равными соответствующим его сторонам, проведены дуги окружностей (черт. 12). Выразить периметр и площадь полученной фигуры через катеты а и b.

88. Площадь кольца, заключённого между двумя концентрическими окружностями, равна площади круга, диаметр которого равен хорде большей окружности, касающейся меньшей окружности. Доказать.

89. Точки С и D лежат на дуге АВ окружности, содержащей 90°, и находятся на одинаковом расстоянии от концов дуги. Через точки С и D проведены перпендикуляры к радиусу ОВ, пересекающие его в точках Е и F соответственно. Доказать, что криволинейная трапеция FDCE равновелика сектору OCD.

90. На катете равнобедренного прямоугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность так, как это указано на чертеже 13, и из точки А как из центра проведена дуга окружности радиуса АВ, пересекающая гипотенузу АС в точке Е. Вычислить площади фигур S₁, S₂, S₃, S₄.

91. На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности (черт. 14). Доказать, что сумма площадей двух лунок, заключённых между меньшими полуокружностями и большей полуокружностью, равны площади треугольника.

92. 1) Вычислить периметры и площади заштрихованных фигур, изображённых на чертеже 15.

2) Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, изображённых на чертеже 15?

3) Какими способами может быть совмещена со своим первоначальным положением каждая из фигур, изображённых на чертежах: 15, 18 и 19?

93. На сторонах прямоугольного треугольника вне его построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Из вершин прямых углов треугольников, построенных на катетах, проведены дуги окружностей так, как это показано на чертеже 16. Вычислить площадь заштрихованной фигуры, если катеты треугольника равны а и b.

94. Выразить площадь заштрихованной фигуры, ограниченной дугами полуокружностей (черт. 17), через KL.

95. 1) Диаметр АВ окружности разделён на 4 равные части, и на отрезках диаметра построены полуокружности, как это показано на чертеже 18. Вычислите площади каждой из заштрихованных фигур. Какой вывод вы можете сделать?

2) Решите эту же задачу для случая, когда отрезок разделён на п равных частей. Какой вывод вы можете сделать?

96. Окружность радиуса R проходит через центр другой окружности. Точки пересечения этих окружностей лежат на диаметре первой окружности. Выразите через R площадь их общей части.

97. Найти периметр и площадь четырёхугольника, вершины которого совпадают с вершинами заштрихованной фигуры (черт. 19).

ОТВЕТЫ.