ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

ГЛАВА

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Вписанные и описанные треугольники.

125. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

126. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Доказать.

127. Из вершины прямого угла треугольника проведены лучи через центры вписанной в треугольник и описанной около него окружностей. Угол между этими лучами равен 7°. Вычислить острые углы треугольника.

128. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
( / С = 90°), равен R, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен r:

а) выразить R + r, R — r, Rr через катеты а и b треугольника;
б) построить прямоугольный треугольник по заданным R и r.
Указание. Выразить через R и rгипотенузу треугольника и сумму его катетов. Далее смотри задачу № 18 дополнительного материала.

129. Вершина А остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром О описанного около треугольника круга. Из вершины Aпроведена высота AD. Доказать, что / BAD = / ОАС.

130. Точка М — переменная точка отрезка АВ, середина которого обозначена О. На отрезках AM в MB как на гипотенузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники АСМ и MDB.

а) Найдите геометрическое место точек С и D и точку пересечения этих геометрических мест — точку Р.
б) Докажите, что прямая РМ делит отрезок CD пополам.
в) Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника АМС.

Вписанные и описанные многоугольники.

131. Биссектрисы углов любого четырёхугольника образуют четырёхугольник, около которого можно описать окружность. Доказать.

132. Через середину дуги АВ окружности проходят две произвольные прямые, пересекающие окружность в точках F и С и хорду АВ в точках D и Е соответственно. Доказать, что точки F, С, D иЕ лежат на одной окружности.
См. задачу № 85 дополнительного материала.

133. В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и СС₁.Точка их пересечения обозначена К.Доказать, что точки A, B₁, К, C₁ лежат на одной окружности.

134. Во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот относительно трёх сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Доказать.

135. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, квадрат высоты равен произведению её оснований. Доказать.

§ 31. Правильные многоугольники.

136. Заполнить без пробелов и перекрытий равными правильными многоугольниками плоскость. Определить, для каких правильных многоугольников это возможно.

137. Найдите отношения сторон следующих многоугольников, с тем чтобы ими можно было покрыть без пробелов и перекрытий всю плоскость:

а) квадрат и треугольник;
б) шестиугольник, квадрат и треугольник;
в) шестиугольник и треугольник;
г) восьмиугольник и квадрат;
д) двенадцатиугольник и треугольник. Для каждого случая сделайте чертёж. Составьте сами несколько аналогичных задач.

138. Через середину В радиуса ОА некоторой окружности к нему проведён перпендикуляр, пересекающий окружность в точке К. Отрезок ВК может быть принят приближённо равным стороне правильного семиугольника, вписанного в эту окружность. Найдите допускаемую при этом погрешность.

139. Около круга описан многоугольник, все стороны которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

140. Около круга описан многоугольник, все внутренние углы которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

141. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Выразите периметр и площадь четырёхугольника МСВЕ через радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

142. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Центр окружности, описанной около шестиугольника, обозначен через О. Прямая ВМ пересекает прямые ED, OD и ОС в точках L, К и Hсоответственно. Выразите через сторону шестиугольника длины отрезков EL, ОН, ОK, а также площадь треугольника ОКН.

143. Из вершин квадрата ABCD со стороной а радиусом, равным половине его диагонали, проведены окружности. Точки пересечения этих окружностей со сторонами квадрата последовательно соединены. Определить вид полученного восьмиугольника и вычислить его стороны.

144. Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что / MAD = / MDA = 15°. Доказать, что треугольник ВСМ равносторонний.
Указание. На стороне AD квадрата вне его построить равносторонний треугольник.

145. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах вне его построены полуокружности, к этим полуокружностям проведены касательные, параллельные катетам треугольника и не пересекающие фигуру. Доказать, что полученный таким образом четырёхугольник является квадратом.

146*. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом (черт. 23) так, что узел стал плоским. Доказать, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

147. На чертеже 24 изображён правильный звездчатый пятиугольник, вырезанный из бумаги. Как нужно сложить лист бумаги и как должна быть расположена линия разреза для получения этой фигуры? Как должна проходить линия разреза, чтобы вырезанным оказался правильный пятиугольник?

148*. Правильный шестиугольник можно получить из двух бумажных лент одинаковой ширины так, как это указано на чертеже 25. Докажите, что шестиугольник будет правильным.

149. Длина окружности радиуса R может быть приближённо заменена длиной отрезка, равного сумме утроенного диаметра окружности и стороны квадрата, вписанного в эту окружность. Найти абсолютную и относительную погрешности такой замены.

150. Через конец диаметра АА₁ окружности радиуса R с центром О проведена касательная к окружности (черт. 26), АВ — сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, ОС — прямая, проходящая через середину хорды АВ. Точка С лежит на прямой MN. Длина отрезка CD равна трём радиусам окружности. Показать, что длина отрезка A₁D приближённо равна πR.

ОТВЕТЫ.