ГЛАВА  I.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

§ 8. Разложение   на множители.   Нахождение  общих  делителей и наименьшего общего кратного.

196.  1) Написать все простые числа от 1 до 50.

2)  Выписать  все   числа   от   1   до 50, представляющие   собой  произведение двух простых чисел.

3)  Написать   несколько   составных  чисел,   которые были бы взаимно простыми между собой.

197.  1) Написать все простые числа от 51 до 100.

2)  Выписать   все   составные  числа первой  сотни, состоящие из произведения одного простого сомножителя,   повторяющегося несколько раз.

3)  Написать по два взаимно простых числа числам:8; 20; 84.

198.   1)   Разложить на   составные   множители   числа: 48;   84; 150.

2) Разложить   на  простые множители (делители) числа: 8; 24; 81; 96; 100; 125;   400;   512; 680; 946;   1001; 3125; 4 500; 13860.

199.  1) Разложить на составные множители числа:  32; 60;   156.

2) Разложить   на простые делители   (множители)  следующие числа:   9;   12;   36;   42;   49;   72;   112;   144; 256;   500; 729, 1155; 10 000.

200.  Найти частное кратчайшим  способом:

1) (5•7):7                                 2) (2•3•5):2

3)   (3•7•11 • 13):13                 4) (2•3•7):(2•3)

5) (2•3•5•5):(2•5)                     6) (2•5•11):(2•11)

7) (2•3•5•7•7):(3•7).                 8) (2•3•5•5•5•7): (3•5•5)

9) (2•3•3•3•7•11):(3•7•11)      10) (5•5•7•7•13): (7 •7 • 13)

201.   1)   Найти   все   простые   и   составные   делители   чисел: 12 и 18; 42 и 28; 16 и 48. Выписать для каждой пары чисел все общие делители и подчеркнуть наибольший общий делитель.

2) Решить предыдущую   задачу для чисел:.48 и 60; 56  и  72;  105 и 315.

202*. Найти   общие делители чисел и указать,   какой из них наибольший:

1) 12 и 18            2) 18 и 54                   3) 60 и 45

4) 21 и 28           5) 20 и 24                   6) 72 и 63

7) 42 и 56            8) 80 и 64                   9) 120 и 96

10) 96 и 192       11) 150 и 180             12) 102 и 170

13) 84 и 120       14) 12; 18 и 30           15) 26; 65 и 130

203. 1) Найти три числа, имеющие общий делитель, равный 12; равный 45.

2)  Написать несколько чисел, кратных 2 и 3; 3 и 7; 2, 5 и 11; 3, 5 и 7.

3)  Написать несколько общих кратных для чисел: 5 и 15; 8 и 12; 20 и 25; 24 и 36.

Найти наименьшее общее кратное чисел:

204. 1) 2 и 5      2) 3 и 7          3) 9 и 10

4) 14 и 25          5) 15 и 18      6) 24 и 36

7) 45 и 75                8) 100 и 120             9) 10; 21 и 23

10) 56; 70 и 126      11) 54; 90 и 162      12) 40; 60; 100 и 150

205.     1) 2 и 3                2)  3 и 11                  3) 4 и 9

4) 10 и 21              5)  12 и 15               6) 25 и 45

7) 16 и 56             8)  25 и 75               9) 8; 15 и  19

10) 26; 51 и 78     11)  63; 126 и  252    12) 54; 81; 135 и 189

Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные множители к ним.

206.    1) 154 и 210           2) 120 и 144           3) 255 и 510

4) 35 и 55              5) 105 и 165          6) 120 и 192

7) 12; 18 и  108     8)   60; 72 и 75        9) 240; 360 и  900

10) 50; 125 и 175 11)  210; 84 и 45    12) 450; 855 и  950

207.   1) 66; 110 и 154      2) 42; 63 и 105   3) 60; 75 и   135;

4) 160; 240 и 2 000        5) 156; 195 и 3 900         6) 40; 64; 112 и 88.

208.   1) Если   сумма   двух чисел — число  чётное,   то  их разность— тоже число чётное; если  сумма  двух чисел — число нечётное,   то и  разность — число   нечётнсе.   Привести   примеры и дать объяснение.

2) Если произведение двух чисел —число нечётное, то сумма этих чисел—число чётное. Привести пример и дать объяснение.

209.   1) Покажите на примерах, что произведение любых трёх последовательных чисел делится на 6.

2)  Покажите на примерах, что произведение трёх последовательных чисел,   начинающихся   чётным  числом,  делится  на 24. Чем объяснить это?

3)  Несколько товарищей обменялись друг с другом   фотокарточками.   Показать   на примерах,   что   при любом  числе   людей карточек будет чётное число.

210*. Напишите все делители данного числа в возрастающем порядке, начиная с единицы и кончая данным числом (например, для 12 делителями будут: 1; 2; 3; 4; 6; 12). Произведение каждых двух делителей, равноудаленных от концов ряда, равно данному числу, например:  1•12=12;   2•6=12 ;   3•4=12. Проверьте это свойство на делителях чисел 32 и 48.

211. Составьте таблицу простых чисел до 100. Для этого напишите все числа до 100 в виде квадратной таблицы, расположив числа первого десятка в первой строке, второго десятка во второй строке и т. д. Зачеркните единицу и все составные числа. Оставшиеся простые числа перепишите в такую же таблицу, оставив пустыми те клетки, где были составные числа. Ответьте на следующие вопросы:

1)  Сколько всего простых чисел до 100?

2)  Сколько простых чисел в каждом десятке?

3)  На какие цифры оканчиваются простые числа, большие 10?

4)  Почему в любом десятке не может быть больше четырёх простых чисел?

5)  Выпишите все пары простых чисел, отличающихся  друг от друга на две  единицы  (так называемые близнецы).

212.   Одно   колесо  экипажа имеет в окружности 210  см, а другое 330 см. Определить наименьшее   расстояние,    которое должен проехать экипаж, чтобы оба колеса сделали целое число оборотов.

213.    Пионеры   построились для прогулки в ряды по 6 человек,  а  затем   их   перестроили, поставив по 4 человека в  ряд. Сколько было пионеров, если их меньше 90, но больше 80?

Ниже приведены задачи, связанные со свойствами простых чисел, над решением которых успешно работал Герой Социалистического Труда академик И. М. Виноградов. Рассмотрите эти свойства на частных примерах.

214*. 1) Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Проверьте это на примере нескольких двузначных чисел. (Задача Эйлера.)

2) Всякое целое число, большее пяти, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Проверьте это на примере нескольких двузначных чисел. (Задача  Гольдбаха.)

ОТВЕТЫ