§  3. Треугольники и многоугольники. Перпендикуляр и наклонные.
         Осевая симметрия .

 

Равнобедренный треугольник.

1.   Построить   равнобедренный   треугольник:

 1) по основанию и боковой стороне;
 2) по основанию и углу при основании;
 3) по боковой стороне и углу при вершине;
 4) по боковой стороне и углу при основании.
 

2. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м.  Определить основание заданного треугольника.

Построение треугольников и равенство их.

3. Построить треугольник:

 1) по стороне и двум прилежащим углам;
 2) по двум сторонам и углу между ними;
 3) по трём сторонам.

4. В  равнобедренном   треугольнике биссектрисы углов при основании равны. Доказать.

5. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

6. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепью (черт. 6), выбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В и из которой можно было бы к ним пройти. Провешивают ( То есть отмечают направление шестами-вехами.)АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Почему?

7. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (черт. 7) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDG и EDF и отмеряют FD = DE и DG=BD. Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HG равно искомому расстоянию. Доказать.

8. На каждой стороне равностороннего треугольника ABC отложены отрезки
АВ1 = ВС1 = СА1. Точки А1, В1 и С1 соединены прямыми. Доказать, что треугольник
А1В1С1 тоже равносторонний.

9. Каждая из сторон равностороннего треугольника ABC продолжена: АВ—за вершину В; ВС—за вершину С; СА — за вершину А; на продолжениях отложены отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника.

10. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них.

2) Доказать теорему: если две стороны и угол против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то треугольники равны.

11. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против меньшей из них.

2) Показать, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то треугольники могут быть как равными, так и неравными.

12. Доказать теорему: если две стороны и медиана одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотреть 2 случая: 1) медиана проведена к одной из данных сторон; 2) медиана  проведена  между данными  сторонами.

Зависимость между   сторонами треугольника.

13. Может ли быть треугольник с такими сторонами: 1) 5 м, 10 м, 12 м; 2) 1 м, 2 м, 3,3 м; 3) 1,2 м, 1 м, 2,2 м?

14. Могут ли стороны треугольника относиться, как: 1) 1:2:3; 2) 2:3:4?

15. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Определить третью сторону, зная, что она выражается в целых метрах.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Определить длину боковой стороны.

17. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а другая —10 м. Какая из них служит основанием?

18. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части длиной в 15 см и 6 см. Определить стороны треугольника.

19. Доказать, что в треугольнике каждая сторона менее половины периметра.

20. Доказать, что сумма расстояний какой-нибудь точки внутри треугольника до его вершин более половины периметра.

21. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37м и 24 м. Определить длину АС.

22. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD.

Перпендикуляр и наклонные.

23. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 14 см; из её середины D проведён к ней перпендикуляр DE до пересечения со стороной ВС, и точка Е соединена с А; периметр треугольника АЕС равен 24 см. Определить длину АС.

24. Из одной точки проведены к данной прямой две равные наклонные; расстояние между их основаниями равно 16 м. Определить проекцию каждой наклонной на данную прямую. .

Построение и равенство прямоугольных треугольников.

25.  Построить   прямоугольный   треугольник:

 1) по двум катетам;
 2) по катету и гипотенузе;
 3) по катету и острому углу;
 4) но гипотенузе и острому углу.

26. Чтобы измерить расстояние между пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, при помощи эккера провешивают перпендикулярно к АВ отрезок BD произвольной длины (черт. 8). Делят BD в точке Е пополам. Проводят перпендикуляр DC к BD в точке D; идут по DC, смотря на А,  до той точки С, которая лежит на прямой АЕ. Длина DC равна АВ. Доказать.

27. 1) Доказать, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает от его сторон равные отрезки.

2) Через точку, данную внутри или вне угла, провести такую прямую, которая отсекла бы от сторон угла равные части.

28. 1)  Доказать,  что  в  равнобедренном   треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны, равны.

2) Составить обратную теорему и доказать её.

29. Три селения А, В и С не лежат на одной прямой. Указать на чертеже, как провести из А прямую дорогу между селениями В и С на равных расстояниях от них.

30. По одну сторону прямой АВ даны две точки М и N. Найти на прямой АВ такую точку С, чтобы прямая АВ составляла равные углы со сторонами ломаной MCN.

Геометрические места точек.

31. Дан треугольник ABC. На биссектрисе угла А найти точку, равноудалённую от вершин В и С.

32. Найти точку, равноудалённую от всех вершин   треугольника.   Всегда ли эта точка будет внутри треугольника?

33. Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы от точки М на данное расстояние а.

34. Найти на стороне треугольника точку, равноудалённую от двух других сторон.

35. В треугольнике найти точку, равноудалённую от всех трёх сторон.

36. Дан угол А и точки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая на другой. Найти:

1) точку М, равноотстоящую от сторон угла и удовлетворяющую условию, что МС= MB;

2) точку N, расположенную на стороне угла, причём так, чтобы NC = CB;

3) точку Р такую, чтобы каждая из точек В и С одинаково отстояла от A и Р.

37. Дан угол А и точка В на одной из его сторон. Найти на другой стороне такую точку С, чтобы сумма СА + СВ была равна данной длине l.

Четырёхугольники.

38. Определить стороны четырёхугольника, если они относятся между собой, как 2:5:4:8, а периметр четырёхугольника равен 76 м.

39. Могут ли стороны четырёхугольника относиться, как 2:3:4:10?

40. 1) Построить четырёхугольник, стороны которого 1 см, 2 см, 3 см и 4 см, а диагональ, проходящая между первой и четвёртой сторонами, равна 2,6 см.

2) То же по четырём сторонам, равным 1,2 см, 1,8 см, 2.4 см и 3,0 см, и углу между второй и третьей сторонами, содержащему 102°.

41. Четырёхугольник разделён диагональю на 2 треугольника, периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырёхугольника равен 32 м. Найти длину проведённой диагонали.

Многоугольники.

42. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: 1) пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) n-угольника?

43. Сколько получится треугольников, если провести все диагонали из одной вершины: 1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3)  n-угольника?

44. Сколько всего диагоналей можно провести 1) в пятиугольнике; 2) в десятиугольнике; 3) в n-угольнике?

45. Сколько сторон в многоугольнике, если число их в т раз больше числа диагоналей, проведенных из одной вершины? (т = 2; 4; 5.)

46. Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диагоналей в т раз больше числа сторон? (т = 0,5; 1;2; 2,5.)

Осевая симметрия.

47. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной оси симметрии.

48. Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно: 1) одного катета; 2) другого катета; 3) гипотенузы.

49. Даны ось симметрии и окружность. Начертить симметричную ей окружность.

50. Даны ось симметрии и ломаная линия. Начертить другую ломаную, симметричную данной.

ОТВЕТЫ
Используются технологии uCoz