§  6. Окружность .

Окружность, её положение.
Диаметр, хорда и её расстояние от центра. Секущая.

1. На сторонах угла ABC, равного 120°, отложены отрезки АВ = BС = 4 см. Провести окружность через точки А, В и С и найти, чему равен её радиус.

2. Найти геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и проходящих через данную точку.

3. Провести окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.

4. Построить окружность, проходящую через две данные точки А и В так, чтобы угол между радиусом круга, проведённым в точку А, и хордой АВ был равен 30°.

5. 1) Радиус окружности равен 10 см, данная точка удалена от центра на 15 см. Найти её наименьшее и наибольшее расстояния от окружности.

2) Радиус окружности равен 10 см, данная точка удалена от центра на 3 см. Найти её наименьшее и наибольшее расстояния от окружности.

6. Наименьшее расстояние данной точки от окружности равно а, наибольшее равно b. Определить радиус (два случая).

7. Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окружностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров, заключённый между окружностями.

8. Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найти угол между ними.

9. Из точки, данной на окружности, проведены две хорды; каждая из них равна радиусу. Найти угол между ними.

10. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них делится другой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние каждой хорды от центра.

11. В круге на расстоянии 1 см от центра даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них равна 6 см. Найти, на какие части одна хорда делится другой.

12. В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных диаметра; произвольная точка окружности спроектирована на эти перпендикуляры. Найти расстояние между проекциями точки.

13. Хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на два отрезка в 2 см и 6 см. Найти расстояние хорды от центра.

14. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и на 10 см. Определить их длину.

15. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6м . Определить длину диаметра.

16. В круге с центром О проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВС, равное радиусу. Через точку С и центр О проведена секущая CD (D — точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка СО). Доказать, что угол AOD равен утроенному углу ACD.

17. 1.) Дан круг, радиус которого равен 2 см. Провести в нём хорду длиной в 1,5 см. Определённая ли эта задача? Сколько решений будет иметь задача, если хорда данной длины должна проходить через данную точку окружности?

2) Показать, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой другой окружности.

18. 1) Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку А, взятую внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна к диаметру, проходящему через А.

2) Через данную в круге точку провести хорду, которая делилась бы этой точкой пополам.

19. Описать окружность с центром в данной точке на стороне данного угла, которая надругой стороне угла отсекла бы хорду данной длины.

20. В данном круге проведены две равные параллельные между собой хорды, расстояние между которыми равно радиусу данного круга. Найти острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.

Касательная. Сопряжение прямых и окружностей.

21. 1) Из внешней точки проведены к кругу две взаимно перпендикулярные касательные; радиус круга R=10 см. Найти длину каждой касательной.

2) Дан круг радиуса R=1 дм; из внешней точки М к нему проведены две взаимно перпендикулярные касательные МА и MB (черт. 16). Между точками касания А и В на дуге АВ взята произвольная точка С и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными МА и MB треугольник KLM. Найти периметр   этого   треугольника.

22. Дан сектор, равный четверти круга радиуса R. Определить длину касательной, проведённой в середине его дуги до пересечения с продолжениями крайних радиусов сектора.

23. В прямой угол вписан круг;  хорда, соединяющая точки касания, равна 2 дм. Найти расстояние этой хорды от центра круга.

24. АВ и АС — касательные к одной окружности; / ВАС равен 60°; ломаная линия ВАС равна 1 м. Определить расстояние между точками касания В и С.

25. Окружность круга равна 18,84 см ; круг катится по прямой AB (черт. 17). На сколько передвинется центр круга, если круг из положения I перейдёт в положение II? В положении I хорда CD || АВ, а в положении II хорда C₁D₁ _|_ АВ.

26. Окружность круга равна 18,84 см. Круг катится по прямой АВ; на сколько передвинется его центр О, если хорда его из первоначального положения CD || АВ перейдёт в положение C₁D₁|| AB (черт. 18)?

27. Радиусы двух кругов равны 2 см и 4 см; их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найти длину каждой из них.

28. Даны два круга,  их  общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны; хорды, соединяющие точки касания, равны 3 см и 5 см. Определить расстояние между центрами.

29. Даны два круга радиусов R и r, один вне другого; к ним проведены две общие внешние касательные. Найти их длину  (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол (R > r).

30. Дан угол в 30°. Построить окружность радиуса 2,5 см, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Вычислить расстояние центра окружности от вершины угла.

31. Начертить выпуклую фигуру из двух параллельных прямых, сопрягаемых полуокружностью. Такая фигура называется в архитектуре „валиком", если диаметр полуокружности вертикален, и „аркой", если он горизонтален (черт. 19).

32. Соединить две непараллельные прямые сопрягающей их дугой. Рассмотреть три случая: 1) когда точки соединения (точки касания) и радиус дуги не даны; 2)когда дан только радиус дуги; 3) когда дана точка соединения, а радиус не дан (примеры такого соединения прямых дугами представляют закругления железнодорожного пути).

33. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом  и касающихся данной прямой.

34. Данным радиусом описать окружность, которая касалась бы данной прямой в данной точке.

35. Описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В.

36. Описать окружность, которая касалась бы сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

37. Между двумя параллельными прямыми дана точка; провести окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

38. Даны две параллельные прямые и секущая. Провести окружность, касающуюся всех трёх прямых.

39. Данным радиусом описать окружность, проходящую через данную точку и касательную к данной прямой.

40. Две прямые исходят из одной и той же точки М и касаются окружности в точках А и В. Проведя радиус ОВ, продолжают его за точку В на расстоянии ВС = ОВ. Доказать, что / АМС = 3 / ВМС.

Относительное положение двух окружностей.

41. Какое относительное положение занимают две окружности, если:

 1) расстояние между центрами 10 см, а радиусы 8 см и 2 см?
 2) расстояние между центрами 4 см, а радиусы 11 см и 7 см?
 3) расстояние между центрами 12 см, а радиусы 5 см и 3 см?
 

42. Радиусы двух окружностей относятся, как 5:3; при внутреннем их касании расстояние между центрами равно 6 дм. Узнать относительное положение тех же окружностей, если расстояние между  центрами будет: 1) 24 дм;   2) 5 дм; 3) 28 дм; 4) 20 дм.

43. Даны два круга—один внутри другого; через их центры проведён в большом круге диаметр, который окружностью меньшего круга делится на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстояние между центрами.

44. Наименьшее расстояние между двумя концентрическими окружностями равно 2 см, а наибольшее 16 см. Определить радиусы этих окружностей.

45. Даны два концентрических круга; в большем круге даны две взаимно перпендикулярные хорды, касательные к меньшему; каждая из хорд делится другой на две части: 3 см и 7 см. Найти радиус меньшего круга.

46. Радиусы двух концентрических окружностей относятся, как 7:4, а ширина кольца равна 12 см. Определить радиус меньшей окружности.

47. Если пересечь два концентрических круга секущей, то части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой. Доказать.

48. Одна окружность находится внутри другой; радиусы их равны 28 см и 12 см, а кратчайшее расстояние между ними равно 10 см. Определить расстояние между центрами.

49. 1) Три равных круга радиуса R касаются друг друга извне.   Определить   стороны   и углы   треугольника,   вершинами которого служат точки касания.

2) Вписать в данный круг три равных круга, которые касались бы попарно между собой и данного круга.

50. Два. равных круга внутрeнно касаются третьего круга и касаются между собой. Соединив три центра, получим треугольник с периметром в 18 см. Определить радиус большего круга.

51. В данный круг, радиус которого  равен  3  дм,   вписано шесть равных кругов (черт. 20), из которых каждый касается данного круга и двух соседних кругов. Найти их диаметры. Сделать чертёж.

52. Около круга радиуса 1 дм проведены с наружной стороны шесть равных кругов, из которых каждый касается данного круга и двух соседних. Найти их радиусы. Сделать чертёж.

Построение окружностей и дуг.

53. 1) Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

2) Провести окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась бы данной окружности в данной точке.

54. 1) Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом и касающихся данной окружности.

2) Данным радиусом провести окружность, которая касалась бы данной прямой и данного круга.

55. Соединить данную прямую и данную дугу сопрягающей дугой данного радиуса; точки соединения (точки касания) не даны.

56. Соединить две данные дуги сопрягающей дугой данного радиуса; точки касания не даны.

57. Описать окружность, которая касалась бы двух данных параллельных прямых и круга, находящегося между ними.

58. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую так, чтобы часть её, заключённая внутри окружностей, имела данную длину.

ОТВЕТЫ