§  7. Измерение углов дугами .

Центральный угол.

1.. 1) Большее колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со впадиной?

2) Меньшее колесо зубчатой передачи имеет 24 зубца. Сколько градусов содержит дуга, занимаемая одним зубцом колеса вместе со впадиной?

3) Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами, когда сцепленное с ним, меньшее, имеющее 24 зубца, сделает один полный оборот?

2. Выразить в градусах, минутах и секундах следующие части  окружности:  1) ¹/₇₂; 2) ¹/₈₁;  3) 0,001;  4) ¹/₁₄;  5)  ⁵/₁₁.

3. Найти, какую часть окружности составляют дуги: 1) 15°; 2)22°30'; 3) 108°; 4) 24'; 5) 18"; 6) 18°45'; 7) 2°30"; 8) 10°40".

4. Определить угол между стрелками на часах, когда часы показывают: 1) 5 час; 2) 3 часа 25 мин.; 3) 4 часа 50 мин.

5. Хорда стягивает дугу в 90° и равна 16 см. Определить её расстояние от центра.

6. В окружности, радиус которой 1,4 м, определить расстояние от центра до хорды, стягивающей  дугу в 120°.

7. Угол между двумя радиусами содержит 102°37". Определить угол между касательными, проведёнными через концы этих радиусов.

8. Дуга AB содержит 73°27'; из её конца в проведена касательная до встречи в точке С с продолжением радиуса OA. Определить / ACB.

Вписанный угол.

9. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведённый в конец её, составляет с её хордой угол в 37°23'?

10. Дуга содержит 117°23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведённого в конец дуги.

11. AВС—секущая; BD—хорда; BD содержит 43°;   BDC содержит 213°41' Определить /  ABD.

12. Вычислить угол,  вписанный в дугу, составляющую  ¹⁷/₃₂  окружности.

13. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37°21'?

14. Дуга содержит 84°52'. Под каким углом из точек этой дуги видна её хорда?

15. Хорда делит окружность в отношении 5:11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

16. AB и AC— две хорды: AB содержит 110°23'; AC содержит 38°.
Определить /  BAC. (Два ответа.)

17. Хорда AB делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130°, а большая делится хордой AC в отношении 31:15 (начиная отA). Определить  /  BAC.

18. Хорды AB и AC лежат по разные стороны центра и заключают  /  BAC равный 72°30'; AB : AC = 19 : 24. Определить эти дуги.

19. Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

20. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведённый к хорде из её конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.

21. Если в треугольнике медиана равна половине соответствующей стороны, то угол против этой стороны прямой. Доказать это с помощью вспомогательной окружности.

22. Точки A и B соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: ACB содержит 117°23' и ADB содержит 42°37'; середины их C и D соединены с A. Определить /  CAD.

23. Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг,— равнобочная.

24. В сегмент AMB вписана трапеция ACDB, у которой сторона AC=CD и
/  CAB= 51 °20'. Сколько градусов содержит дуга AMB?

25. AB—диаметр; C, D и E —точки на одной полуокружности ACDEB.
      На диаметре AB взяты: точка F так, что / CFA = / DFB, и точка G так, что
/ DGA = / EGB. Определить / FDG, если AC содержит 60° и BE содержит 20°.

26. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части (черт. 21). Найти эти части.

27. Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность—сторонами     треугольника?

28. Построить  несколько  точек  окружности,   имеющей данный диаметр, пользуясь лишь чертёжным треугольником.

. 29. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе C =5 см и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.

30. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.

31. Найти геометрическое место середин всех хорд, пересекающихся в одной точке. Рассмотреть два случая: 1)   точка   на   окружности;   2) точка внутри окружности.

32. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны. Доказать.

33. На радиусах OA и ОВ четверти круга АОВ построены (как на диаметрах) полукруги АСО и ОСВ (черт. 22).

Доказать, что: 1) прямая ОС делит угол АОВ пополам; 2) точки А, С и В лежат на одной прямой; 3) дуги АС, СО и СВ равны между собой.

34. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Определить острый угол   между   хордой  и  касательной.

35. АВ   и   АС — равные   хорды, MAN—касательная; BC, на которой не лежит точка А, содержит 213°42'. Определить углы МАВ и NAC.

36. С—точка на продолжении диаметра АВ; CD — касательная; / ADC= 114°25'. Сколько градусов и минут содержит BD?

37. АВ—диаметр окружности; ВС—касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке D) пополам. Определить /  DAB.

38. М—середина высоты BD в равнобедренном треугольнике ABC; точка М служит центром дуги, описанной радиусом MD между сторонами ВА и ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что /   ВАС = 62°17'.

Угол с вершиной внутри круга и вне круга. Описанный угол.

39. Окружность разделена точками А, В, С и О так, что
AВ: BC: CD: DA  = 2:3:5:6. Проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке М. Определить / АМВ.

40. Диаметр АВ и хорда CD пересекаются в точке М; /  СМВ=73°; BC содержит 110°. Сколько градусов содержит BD?

41. Хорды АВ и CD пересекаются в точке M; /  АМС= 40°; AD более CB на 20°54'. Определить AD.

42. Из концов AB, содержащей т°, проведены хорды АС и BD так, что /  DMC, образуемый их пересечением, равен / DNC, вписанному в CD. Определить эту дугу.

43. В четырёхугольнике ABCD углы В и D—прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40°, а со стороной AD — угол в 30°. Определить острый угол между диагоналями АС и BD.

44. Окружность разделена точками А, В, С и D так, что
AB: BC : CD : DA = 3:2:13:7. Хорды AD и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить /  АМВ.

45. Дана окружность с хордой и касательной, причём точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.

46. Секущая ABC отсекает BC, содержащую 112°; касательная AD точкой касания D делит эту дугу в отношении 7:9. Определить /  BAD.

Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол, полезно помнить следующее: тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180° к углу между радиусами, проведёнными в точке касания.

47. Из концов дуги в 200°30' проведены касательные до взаимного пересечения.  Определить угол между ними.

48. Описанный угол содержит 73°25'. Определить дуги, заключённые между его сторонами.

49. Хорда делит окружность в отношении 11:16. Определить угол между касательными, проведёнными из концов этой хорды.

50. Внутри данной окружности (черт. 23) помещается другая окружность. ABC и ADE—хорды большей окружности, касающиеся в точках В и D меньшей окружности; BMD — меньшая из дуг между точками касания; CNE— дуга между концами хорд. Определить CNE, если BMD содержит 130°.

51. Внутри данной окружности (черт. 24) находится другая окружность, CAE и DBF—две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружностив точках А и В; АМВ — меньшая из дуг между точками касания; CND и EPF—дуги между концами хорд. Сколько градусов содержит CND, если   AMB содержит 154°  и EPF = 70°?

52. Окружность разделена в отношении 5:9:10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.

53. АВ и АС—две хорды, образующие /  ВАС в 72°24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить /  ВМС.

54. Определить величину описанного угла, если расстояние (кратчайшее) от его вершины до окружности равно радиусу.

55. Дуга АВ содержит 40°24'. На продолжении радиуса OA отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить / АСВ.

56. В треугольнике ABC угол С—прямой. Из центра С радиусом АС описана  ADE, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет СВ—в точке Е. Определить дуги AD и DE, если /  B=37°24'.

Сегмент, вмещающий данный угол.

57. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону АС; стороны AD и ВС пересекаются в точке М. Углы В и D равны между собой и содержат по 40°. Расстояние между вершинами В и D равно стороне АВ; /  АМС=70°. Определить углы треугольников ABC и ADC.

58. На данной прямой MN найти точку,  из которой данный отрезок АВ был бы виден под данным углом.

59. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и высоте.

60. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведённой к основанию.

61. Даны по величине и положению два отрезка: а и b. Найти такую точку, из которой отрезок а был бы виден под данным углом А, отрезок b — под данным  углом В.

62. Построить параллелограмм по его углу и диагоналям.

Вписанный и описанный треугольники.

63. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Определить радиус описанной окружности.

64. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см; угол при вершине равен 120°. Определить диаметр описанной окружности.

65. Пусть будет О—центр круга, описанного около треугольника ABC.
Определить / ОАС: 1) если /  B=50°; 2) если /  B=126°.

66. Один из острых уг.лов прямоугольного треугольника равен 25°. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?

67. Два угла треугольника равны 100° и 50°. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

68. Треугольник ABC—равнобедренный; радиус описанного круга OA образует с основанием АС угол ОАС, равный 20°38'. Определить /  BАС. (Два случая.)

69. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанного круга.

70. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.

71. В прямоугольном равнобедренном треугольнике обозначим радиус вписанного круга через r, а половину периметра— через р. Требуется определить гипотенузу.

72. Около данного круга описать равнобедренный прямоугольный треугольник.

73. Около круга, радиус которого равен 4 см, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26 см. Найти периметр треугольника.

74. В данный круг вписать треугольник,   у   которого даны два угла.

75. Около данного круга описать треугольник, у которого   даны    два    угла.

Вписанный и описанный четырёхугольники.

76. Меньшая сторона прямоугольника равна 1 м; острый угол между диагоналями равен 60°. Найти радиус описанного круга.

77. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол в 12°35'. На какие четыре части делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность?

78. Вписать круг в данный ромб.

79. Сторона ромба равна 8 см; острый угол его содержит 30°. Определить радиус вписанного круга.

80. В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?

81. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 50°, а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, равен 40°. Где лежит центр описанной окружности: внутри или вне трапеции?

82. Около круга описана трапеция, периметр которой равен  12  см.  Определить  среднюю линию этой трапеции.

83. Около круга описана равнобедренная трапеция с углом 30°. Средняя линия её равна 1 м. Определить радиус круга.

84. Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна к диагонали. BD и делит её пополам. Определить углы этого четырёхугольника,
если  /  BAD = = 70°23'42". ,

85. Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся: 1)как 2:4:5:3; 2)как 5:7:8:9?

86. Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор.

87. В четырёхугольнике ABCD дано: / АВС=116°; / ADC=64°; / САВ = 35° и / СAD=52°. Определить угол между диагоналями, опирающийся на сторону АВ.

88. 1) Три стороны описанного четырёхугольника относятся   (в  последовательном порядке), как   1:2:3. Определить стороны, если известно,  что периметр его равен 24 м.

2) Три угла вписанного четырёхугольника (в последовательном порядке) относятся, как 1:2:3. Определить углы четырёхугольника.

ОТВЕТЫ