|
|
§ 8. Пропорциональные отрезки.
Пропорциональные отрезки. 1. Найти при помощи последовательного откладывания отношение отрезка АВ к отрезку CD (черт. 25).
2. Найти (с точностью до 0,01) отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне. 3. 1) Точка М делит отрезок АВ в отношении АМ : МВ= 1:2. 2) Точка K делит некоторый отрезок АВ в отношении т : п. Найти отношение АК : АВ и КВ : АВ. 4. На отрезке AB длиной 6 см дана точка С, расстояние которой от А равно 3,6 см на продолжении отрезка АВ за точку В найти такую точку D, чтобы расстояние её от А относилось к расстоянию её от В, как АС : СВ. 5. Двe параллельные улицы пересечены двумя улицами, выходящими из одной точки А. Части параллельных улиц, заключённые между лучевыми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трамвай идёт по одной из лучевых улиц от точки А до первой параллельной улицы 15 мин. Сколько времени он при той же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй параллельной улицы? 6. Стороны угла А пересечены двумя параллельными прямыми ВС и DE (через В и D обозначены точки на одной стороне угла). Требуется: 1) Определить АЕ, если AB = 8 м, AD = 12 м и АС = 10 м; 2) определить АВ, если AB + AD=21 м, АС =12 м и АЕ = 16 м; 3) определить AD, если АС : АЕ = 3/11 : 0,6 и BD = 12 дм. 7. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до взаимного пересечения в точке М. Требуется: 1) определить отрезок СМ, если АВ= 1 м, CD = 15 дм и ВМ = 8 дм; 2) определить отрезок ВМ, если сторона АВ = 1,2 м и СD : СМ = 1/6: 0,25; 3) определить CD, если АВ : BМ= 17 : 9 и CD—CM = 1,6 м. 8. ВА и BD — отрезки одной стороны угла В; ВС и BE — отрезки другой стороны его. Узнать, параллельны ли прямые АС и DE: 1) если BA : AD = 3 : 4, BС =1,2 м и BE = 2,8 м; 2) если BD : AD= 11 : 8,5 и ВС = 5/17 СЕ; 3) если BA = 7/13 BD, BС = 2,8 м и CE = 2 м. 9. 1) Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20 см. Определить отрезки параллельных прямых, заключённые между боковыми сторонами. 2) В трапеции боковая сторона разделена на восемь равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию, до пересечения с другой боковой стороной. Основания трапеции равны 50 см и 30 см. Найти длины отрезков параллельных прямых между боковыми сторонами. 10. Основания трапеции 1,8 м и 1,2 м; боковые стороны её длиной 1,5 м и 1,2 м продолжены до взаимного пересечения. Определить, на сколько продолжены боковые стороны. 11. Чтобы измерить высоту дерева (черт. 26), провешивают (то есть отмечают шестами-вехами) на некотором расстоянии от ствола прямую и на ней в некоторых точках её втыкают в землю два кола так, чтобы их концы A1 и В1 и верхушка дерева М находились на одной прямой. Найти высоту дерева, если известны расстояния AD = m, АВ = п и высота кольев а и b (т = 22,5 м, n =1,25 м, а = 1,75 м и b = 2,55 м).
12. На чертеже 27 АВ|| CD, FE _|_ АВ, OA = 4,8 см, OE = 4,5 см, OB = 5,4 см, 13. Короткое плечо шлагбаума (черт. 28) имеет длину 0,75 м, а длинное плечо 3,75 м. Как высоко поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м? (Сделать чертёж.)
14. В треугольнике проекции боковых сторон на основание равны 15 м и 27 м, а бoльшая боковая сторона равна 45 м. На какие части она делится (считая от вершины) перпендикуляром к основанию, проведённым из его середины? (Два случая.) 15. Через точку Р, данную внутри или вне угла MAN, провести прямую так, чтобы части её, заключённые между этой точкой и сторонами угла, имели данное отношение 16. 1) Найти геометрическое место точек, расстояния которых от сторон данного угла имеют одно и то же отношение т : п. 2) Найти в треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные из неё на стороны, находились в данном отношении т : п : р. Свойство биссектрисы в треугольнике. 17. BD—биссектриса угла в треугольнике ABC. Требуется определить: 2) сторону ВС, если AD:DC= 8:5 и AВ=16 м; 3) сторону АС, если АВ:ВС=2:7 и DC—AD = 1 м. 18. Угол треугольника, заключённый между сторонами в 9 см и 6 см, разделён пополам. Один из отрезков третьей стороны оказался равным однoй из данных сторон. Определить третью сторону. 19. D — точка на стороне ВС в треугольнике ABC. Узнать, делит ли прямая AD угол А пополам: 1) если АВ=12 см, AС = 15 см, BD = 8 см и DС=10 см; 2) если AВ=12 м, AС= 56 м и BD:DC= 14:3; 3) если AВ= 5/11 AC, BD = 2 м, DC= 4,5 м; 4) если АВ = 6 м, АС = 28 м и BD = 3/17 ВС. 20. В треугольник AВС вписан ромб ADEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС. Определите отрезки BE и ЕС, если AВ=14 см, ВС= 12 см и AС= 10 см. 21. Стороны треугольника равны 51 см, 85 см и 104 см. Проведена окружность, которая касается обеих меньших сторон, а центр имеет на большей стороне. На какие части ббльшая сторона делится центром? 22. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а основание относится к боковой стороне, как 4:3. Определить радиус вписанного круга. 23. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60 см. Определить основание. 24. В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см. Определить его стороны. 25. Хорда АВ = 15 м, хорда АС = 21 м и хорда ВС = 24 м. Точка D — середина дуги СВ. На какие части BE и ЕС делится хорда ВС прямой AED ? 26. В треугольнике ABC даны стороны а, b и с. ВО — биссектриса угла В; О—точка пересечения BD и биссектрисы угла С. Требуется определить отношение OD:OB. 27. В треугольнике ABC сторона AВ=15 см и АС = 10 см; AD—биссектриса угла А; из точки D проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АС в точке Е. Определить АЕ, ЕС и DE. 28. В равнобедренном треугольнике ABC сторона АС = b, сторона ВА = ВС= а; AN и СМ — биссектрисы углов А и С. Определить длину MN. ОТВЕТЫ
|
