§ 12. Правильные многоугольники .

Обозначения:
п—число сторон правильного многоугольника;
а_n —сторона правильного вписанного многоугольника;
b_n — сторона правильного описанного многоугольника;
k_n—апофема правильного вписанного многоугольника;
R—радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности.

1. 1) Вычислить центральный угол правильных 24-угольника и 16-угольника.

2) Какой правильный многоугольник имеет центральный угол, равный 30°? 12°?

2. Центральный угол правильного многоугольника и угол при вершине в сумме составляют 180°. Доказать.

3. Определить величину угла правильного n-угольника (n = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 25).

4. 1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?   150°?

2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен 36°? 24°?

5. Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Определить наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.

6. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трёхгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр в 2 см?

7. Вычислить, какой размер отверстия ω должен иметь ключ для правильной шестигранной гайки, если ширина грани гайки а  = 2,5 см. Величина зазора между гранями гайки и ключа равна 0,5 мм (черт. 43).

8. 1) Вписать в окружность правильный 12-угольник. 15-угольник.

2) Описать около круга правильный 8-угольник, 10-угольник.

3) По данной стороне а построить правильный 8-угольник, 12-угольник.

9. 1) Хорда, перпендикулярная к радиусу в его середине, равна стороне правильного вписанного треугольника. Доказать.

2) Показать, что k₆ = 0,5a₃.

10. 1) В правильном треугольнике апофема равна ¹/₃ высоты и ¹/₂ радиуса описанного круга. Доказать.

2) Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, равна т. Определить сторону треугольника.

11. 1) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус круга, описанного около этого многоугольника, равен R. Определить радиус вписанного круга.

2) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус вписанного в него круга равен r. Определить радиус описанного круга.

3) R—радиус описанного около многоугольника круга. r — радиус вписанного круга. Определить сторону этого многоугольника.

12. В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный   6-угольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.

13. Доказать, что: l)

14.Доказать,что:1)

15. По данному а_n = а определить R, если п равно; 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.

16. По данному а определить: 1) k₃; 2) k₄; 3) k₆.

' 17. По данному k_n= k определить R, если п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8.

18. По данному R определить:  1) b₃; 2) b₄; 3) b₆.

19. По данному радиусу круга R и данной стороне а_n правильного вписанного n-угольника определить сторону b_n правильного описанного  n-угольника.

20. В круг радиуса R=50 см вписать правильный 7-угольник, воспользовавшись тем, что сторона правильного вписанного 7-угольника равна приблизительно половине стороны правильного вписанного треугольника.

21. Определить длину диагоналей правильного 8-угольника:  1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а.

22. Определить длину диагоналей правильного 12-угольника: 1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а.

23. Построить правильный пятиугольник по диагонали.

24. Самое простое мансардное покрытие образует в вертикальном сечение половину правильного 8-угольника (черт. 44).

Найти ширину перекрытия BD, сторону 8-угольника и высоту мансардной комнатки ABDE. Дано: AE = 6 м.

25. В окружность вписан и около неё описаны правильные n-угольники. Найти отношение сторон этих n-угольников (n = 3; n = 6).

28. В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник, и середины его сторон последовательно соединены. Определить сторону нового n-угольника, если n равно:
1) 6; 2) 8.

27. 1) В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середины четырёх сторон, взятых через одну так, что получился квадрат. Определить сторону квадрата.

2) В правильном 12-угольнике со стороной а соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный 6-угольник. Определить его сторону.

28. Построить правильный 8-угольник отсечением углов данного квадрата.

Чтобы превратить данный квадрат отсечением его углов в правильный 8-угольник, засекаем стороны (черт. 45) квадрата дугами, имеющими радиусами половину диагонали квадрата, а центрами — вершины квадрата. Доказать, что полученный 8-угольник будет правильным.

29. Путём срезывания углов превратить данный правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и определить его сторону.

30. В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник со стороной а_n. Удвоить число сторон этого многоугольника и доказать, что .

31. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна b. Найти радиус круга и сторону вписанного в окружность квадрата.

32. В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

33. 1) В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Определить сторону этого квадрата.

2) Около правильного треугольника со стороной а описана окружность; около этой окружности описан квадрат, а около него — окружность. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

34. 1) Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей.

2) Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной окружности дугу в 60°, а в другой — дугу в 30°. Определить расстояние между центрами.

35. ABC—вписанный правильный треугольник; AD — треть стороны АВ; BE—треть стороны ВС. Доказать, что отрезок DE равен радиусу.

36. Каждая сторона правильного треугольника, равная а, разделена на три равные части, и соответственные точки деления (считая в одном направлении) соединены между собой, отчего получился новый треугольник. Определить радиус вписанного в него круга.

37. Вписать в данный квадрат другой с данной стороной. Всегда ли разрешима задача?

38. В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны диагоналям ромба.

39. Один из двух квадратов со стороной а, наложенных друг на друга, повёрнут около центра на 45°. Определить периметр образовавшейся при этом звезды.

40. 1) Диагонали правильного пятиугольника в свою очередь образуют правильный пятиугольник. Доказать.

2) Если стороны правильного пятиугольника продолжить до взаимного пересечения, то получается звёздчатый пятиугольник с равными сторонами (пентаграмма). Доказать.

41. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону полученной шестиугольной звезды.

2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону восьмиугольной звезды.

42. По данному радиусу R определить хорду дуги, которая содержит: 1) 135°; 2) 150°.

43. Определить отношение между сторонами треугольника, если его углы относятся, как 1:2:3.

44. Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и, через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из боковых отрезков хорды равен с. Определить радиус круга.

45. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Определить высоту прямоугольника.

46. n равных кругов, касающихся между собой, касаются данного круга,  радиус которого равен R. Определить радиус этих кругов, если число их п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

47. На каждой из двух половин данного отрезка построены, как на- диаметрах, два круга, и из каждого конца этого отрезка проведены касательные к кругу, построенному у другого конца. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равен стороне квадрата, вписанного в один из построенных кругов.

ОТВЕТЫ