§ 16. Приложение алгебры к геометрии.
          Деление в среднем и крайнем отношении  .

Построение формул..

1. 1) Построить отрезки, равные √6  и √7 .

2) На чертеже 73 дано: OA = АВ = ВС= CD = DE= EF= FG= GH= HK= KL = 1, причём  AB_|_AO,  BC_|_BO,  CD_|_CO и т. д.  Вычислить: OB, ОС, OD, ОЕ, OF, OG, OH, OK, OL.

3) Построить отрезки, равные: √11,  √12,  2 √3,  ¹/₂√5,  ³/₅√6.

2. Построить треугольник со сторонами: √2, √5, √7.

3.   Указать   измерения следующих выражений, в которых каждая буква,кроме π , обозначает длину отрезка:

4. Какие из следующих формул неоднородны:

5. Построить  треугольник  со  сторонами   a = 2 + √3,  b = √3 —1, с = 2√3

6. Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:

l) x = 3¹/₂ a; 2) х = а — (b + 3d);  3) х = 3с — (2т — n);
 

7. Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:

Построение фигур.

8. Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему треугольнику со стороной а.

9. Построить круг, площадь которого вдвое больше площади данного круга с радиусом R.

10. Данный круг с радиусом R разделить пополам концентрической окружностью.

11. Построить квадрат, равновеликий ³/₅ параллелограмма со стороной а и опущенной на неё высотой h.

12. Построить круг, равновеликий кольцу между двумя концентрическими окружностями с радиусами R и r.

13. По данному основанию а и прилежащему к нему углу в 30° построить треугольник, равновеликий данному треугольнику с основанием b и высотой h.

Построение корней квадратного уравнения.

14. Построить корни квадратных уравнений х² ± рх ± q² = 0.

15. 1) На АВ, как на диаметре (черт. 74), описана полуокружность. Дано: AB = р;
ВС_|_АВ; BD = q; DE||AB; EF_|_АВ. Доказать, что отрезки AF и FB служат  корнями квадратного   уравнения   х² — рх + q² = 0.

2) Применить рассмотренное построение к построению корней уравнения:
 х²— 6,5 x + 4 = 0, не решая уравнения.

3) Почему применение этого способа к уравнению х²— 2,5 x + 9 = 0 не даёт желательных   результатов?

Деление в среднем и крайнем отношении.

16. Разделить данный отрезок а в среднем и крайнем отношении, т. е. разделить его на две части так, чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрезком и  его  меньшей  частью.

17. 1) Доказать, что сторона правильного вписанного десятиугольника равна большему отрезку радиуса, разделённого в среднем и крайнем отношении.

2) По данному R вычислить а₁₀.

18. Если какой-нибудь отрезок разделён в среднем и крайнем отношении, то большая часть составляет приблизительно ⁵/₈  всего отрезка.  Проверить это и определить степень точности такого приближения.

19. 1) Определить бoльшую часть при делении отрезка в среднем и крайнем отношении, если меньшая часть равна b.

2) Если меньшую часть отрезка, разделённого в среднем и крайнем отношении, отложить на большей части, то бoльшая часть также разделится в среднем и крайнем отношении. Доказать.

20. Диаметр разделён в среднем и крайнем отношении перпендикуляром, проведённым из точки окружности. Радиус окружности равен r. Найти длину перпендикуляра.

21. Доказать, что в правильном пятиугольнике две пересекающиеся диагонали взаимно делятся в среднем и крайнем отношении.

22. Если радиус круга разделить в среднем и крайнем отношении и, взяв бoльшую часть, описать ею концентрическую окружность, то площадь данного круга тоже разделится в среднем и крайнем отношении, причём большей частью будет кольцо. Доказать это.

Применение алгебраического метода.

23. На продолжении диаметра круга радиуса r найти такую точку, чтобы касательная, проведённая из неё к данному кругу, равнялась диаметру.

24. В данную полуокружность вписать квадрат.

25. Дан треугольник с основанием а и высотой h. Вписать в него прямоугольник, имеющий данный периметр 2р.

26. Данный треугольник разделить пополам прямой, параллельной его основанию.

27. Площадь треугольника разделить пополам прямой, перпендикулярной к основанию.

28. Вписать в данный ромб прямоугольник, стороны которого были бы параллельны диагоналям ромба и площадь которого равнялась бы ¹/₃   площади ромба.

29. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из вершин у них была общая.

30. В квадрат со стороной а вписать другой квадрат со стороной b.

31. Построить окружность, касающуюся данной окружности радиуса r и данной прямой в данной на ней точке.

32. Даны два прямоугольника. Построить третий прямоугольник, изопериметричный с  одним из данных прямоугольников и равновеликий другому.

33. В данный треугольник вписать прямоугольник, основание которого относилось бы к высоте, как  т : п.

34. В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС= b. Провести прямую EF так, чтобы она отсекла параллелограмм ABEF, подобный ABCD.

35. В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС= b. Провести прямую EF, параллельную АВ, так, чтобы она разделила данный параллелограмм на два подобных между собой параллелограмма.

36. В углы A и С прямоугольника ABCD вписать две равные окружности, которые касались бы между собой.

37. Через точки А и В провести окружность, отсекающую от данной прямой хорду данной длины т.

ОТВЕТЫ