|
|
|
|
§ 6. Окружность. Измeрение углов с помощыо дуг. Описанная и вписанная окружность. Относительное положение окружностей . 1 сажен = 3 аршина 138. 1) Радиус окружности равен 10 д.; данная точка удалена от центра на 15 д. Найти её наименьшее и наибольшее расстояние от окружности. 2) Радиус окружности равен 10 д.; данная точка удалена от центра на 3 д. Найти её наименьшее и наибольшее расстояние от окружности. 139. Наименьшее расстояние данной точки от окружности равно а, наибольшее — равно b. Определить pадиус. 140. Из одной точки окружности выходят две взаимно-перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 д. и на 10 д. Определить их длину. 141. Концы диаметра удалены от касательной на 1 арш. и на 6 вершк. Определить длину диаметра. 142. Следующие выражения углов заменить градусными: 1) d/5; 2) 0,25d; 3) 1/32d; 4)0,8(3)d; 5)17/24d; 6) 32/21d 143. Выразить в градусах, минутах и секундах следующие части окружности: 1) 1/72; 2)1/81; 3) 0,001; 4) 1/14; 5) 5/11 144. Найти, какую часть окружности составляют дуги: 1) 15°; 2) 22°30'; 3) 108°; 4) 24'; 5) 18"; 6) 18°45'; 7) 2°0'30"; 8) 10'40"; 9) 36°12'17". 145. Определить угол между стрелками на часах, когда часы показывают: 1) 5 ч.; 2) 3 ч. 25 м.; 3) 4 ч. 50 м 146. Найти дополнение до прямого угла к следующим острым: 1) 70°; 2) 34°23'; 3) 22°42'38". 147. Вычислить величину смежного угла для следующих данных: 1) 137°; 2) 26°37'; 3) 54°0' 17". 148. Вокруг точки лежат 48 равных углов. Определить величину одного угла. 149. Стороны тупого и острого угла соответственно параллельны; тупой угол более острого на 12° 18'54". Определить острый угол. 150. В треугольнике два угла равны 110°23'52" и 24°36'41". Определить третий угол. 151. В прямоугольном тр-ке один острый угол = 58°20'32". Определить другой острый угол. 152. В равнобедренном тр-ке угол при вершине равен 105°0'27". Определить угол при основании. 153. В равнобедренном тр-ке угол при основании равен 70° 43'8". Определить угол при вершине. 154. Определить углы тр-ка, если они относятся как 12 : 9 : 11. 155. Определить углы 4-угольника, если они относятся как 4:7:6:10. 156. Определить величину угла в равноугольном 16-угольнике, 50-угольнике и 28-угольнике. 157. В равнобедренном тр-ке угол при основании равен 45°, а основание длиннее высоты на 1 арш. 10 вершк. Определить основание. 158. АВ и АС—касательные к одной окружности; / BAC=60°; ломаная линия ВАС равна 1 метру. Определить расстояние между точками касания В и С. 159. Хорда стягивает дугу в 90° и равна 1 арш. Определить её расстояние от центра. 160. В окружности, радиус которой равен 1 ф. 2 д., определить расстояние от центра до хорды, стягивающей дугу в 120°. 161. Угол между двумя радиусами содержит 102°0'37". Определить угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов. 162. Определить величину дуги, если конечный радиус её составляет с хордой угол в 37°23'. 163. Дуга равна 117°23'42". Определить угол между хордой и продолжением конечного paдиyсa дуги. 164. Дуга АВ равна 73°27'43"; из её конца В проведена касательная до встречи, в точке С, с продолжением радиуса ОА. Определить / АСВ. 165. Точками А и В окружность разделена на части AСB и ADB. Проведены хорды СА и СВ. Определить угол АСВ в следующих случаях: a) если дуга ADB= 1) 70° 23', 2) 117°28', 3) 315° 40' 24"; b) если дуга АСВ = 1) 51°20', 2) 104°26', 3) 214°. 166. ABC— секущая; BD — хорда; 167. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую 27/32 окружности. 168. Вычислить дугу, которая вмещает угол равный 37°21'43". 169. Дуга содержит: 84°52'18". Под каким углом из точек этой дуги видна её хорда? 170. Хорда делит окружность в отношении 5:11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду. 171. АВ и АС— две хорды; 172. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая = 130°, а большая делится хордой АС в отношении 31:15 (начиная от А). Определить / ВАС. 173. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают /
ВАС равный 72°30'; 174. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника. 175. Определить величину дуги, если перпендикуляр, восставленный из конца хорды, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2. 176. Если в треугольнике медиана равна половине соответствующей стороны, то угол против этой стороны прямой. Доказать с помощью вспомогательной окружности. 177. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостями в разные стороны: 178. В сегмент АМВ вписана трапеция ACDB, у которой сторона AC = CD и / САB =51°20'. Определить величину дуги АМВ. 179. АВ — диаметр; С, В и Е—точки на одной полуокружности ACDEB. На диаметре АВ взяты: точка F так, что /
CFA = /
DFB, и точка G так, что /
BGA = /
EGB. Определить /
FDG, если 180. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной. 181. Через конец хорды проведена касательная. Тупой угол между ними более центрального, соответствующего той же хорде, на 54°. Определить величину дуги (меньшей). 182. АВ и АС — равные хорды; MAN—касательная; 183. С—точка на продолжении диаметра АВ; CD— касательная; / АDС= 114°25'38". Определить дугу ВD. 184. В тр-кe ABC угол С прямой; AMC и BNC — две дуги внутри тр-ка ABC, касающиеся гипотепузы АВ. Определить дугу BNC, если дуга АМС равна 100°47'24". 185. Окружность разделена точками А, В, С и D так, что 186. Диаметр АВ и хорда CD пересекаются в точке М; /
СМВ = 73°; 187. Показать, что угол, опирающейся на диаметр, а вершину имеющий внутри круга, всегда тупой. 188. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М; / АМС=40°; дуга AD более дуги СВ на 20°54'. Определить дугу AD. 189. Из концов дуги АВ, содержащей m°, проведены хорды АС и BD так, что угол DМC, образуемый их пересечением, равен углу DNC, вписанному в дугу DC. Определить эту дугу. 190. В 4-угольнике ABCD углы В и D прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40°, а со стороной AD угол в 30°. Определить острый угол между диагоналями АС и BD. 191. Окружность разделена точками А, В, С и D так, что 210*. АВ—диаметр; ВС— касательная. Секущая АС делится на окружности (в точке D) пополам. Определить / DAB. 211. М—средина высоты ВD в равнобедренном тр-ке ABC; из центра М радиусом MD описана дуга между сторонами ВА и ВС. Определить величину этой дуги, если / BAC=62°17'. 212. АВ — диаметр; CD — хорда параллельная АВ; соединяем точку С с А и точку D с центром О. В трапеции ACDO угол CDO =32°. Определить остальные углы этой трапеции и острый угол между её диагоналями. ---------------- 213. Пусть будет О — центр круга, описанного около тр-ка ABC. 214. Определить углы прямоугольного тр-ка ABC, если, соединяя вершину С прямого угла с центрами О и О1 кругов описанного и вписанного, получим / ОСО1=т°. 215. Треугольнпк ABC равнобедренный; радиус описанного круга ОА образуете с основанием АС угол ОАС=20° 38'. Определить / ВАС. 216. В равнобедренном тр-ке боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7 : 5 (начиная от вершины). Найти отпошение боковой стороны к основанию. 217. В прямоугольном равнобедренном треугольнике обозначим радиус вписанного круга через r, а половину периметра через р. Требуется определить гипотенузу. 218. В треугольник ABC вписан круг. Обозначая стороны, лежащие против углов А. В и С, соответственно через а, b и с, а половину периметра через р, определить отрезки сторон, образуемые точками касания вписанного круга. 219. В прямоугольнике диагональ образует со стороной утол в 12°35'. На какие четыре части делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность? 220. В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равеи 37°? 221. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 50°, а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, равен 40°. Определить положение (внутреннее или внешнее) центра описанной окружности. 222. Около круга описана трапеция, периметр которой равен 1 ф. Определить среднюю линию этой трапеции. 223. Около круга описана равнобедренная трапеция с углом в 30°. Средняя линия её равна 1 метру. Определить радиус круга. 224. Во вписанном 4-угольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна к диагонали ВD и дeлит ее пополам. Определить углы этого 4-угольника, если / BAD =70°23' 42". 225. Можно ли описать окружность около 4-угольника, углы которoго по порядку относятся: 1) как 2:4:5:3; 2) как 5:7:8:9? 226. Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен В. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор. 227. В 4-угольнике АВСD определить угол между диагоналями, опирающийся на сторону АВ, если дано: / АВС=116°, / АDС=64°, / САВ=35° и / CAD = 52° 228. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 229*. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону АС; стороны АD и ВС пересекаются в точке М. Углы В и D равны между собой и содержат по 40°. Расстояние между вершинами В и D равно стороне АВ; угол АМС= 70°. Определить углы тр-ков ABС и ADС. 230. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно 1 ф., а при внутреннем касании — равно 2 д. Определить радиусы окружностей. 231. Радиусы двух окружностей относятся как 5:3, и при внутренпсм их касании расстояние между центрами равно 6 д. Узнать относительное положение тех же окружностей, если расстояние между их центрами будет равно: 1) 2 ф.; 2) 5 д.; 3) 1 арш.; 4) 1 ф. 8 д. 232. Наименьшее расстояние между двумя концентрическими окружностями равно 2 вершк., а наибольшее — 1 арш. Определить радиусы этих окружностей. 233. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 7:4, а ширина кольца равна 1 ф. Определить радиус меньшей окружности. 234. Одна окружность находится внутри другой; радиусы их равны 1 арш. и 1 ф., а кратчайшее расстояние между ними равно 10 д. Определить расстояние между центрами. 235. Стороны треугольника равны 8 д., 16 д. и 20 д. Из вершин этого тр-ка, как из центров, описаны три окружности так, что каждая внешне касается двух других. Определить радиусы этих окружностей. 236. Два равных круга внутренно касаются третьего и касаются между собой. Соединив три центра, получим периметр в 1 ф. 6 д. Определить радиус большого круга. 237. Две равные окружности имеют внутреннее касание с третьей. Определить расстояние между центрами внутренних окружностей, если их радиус равен r, радиус третьей окружности равен В, а её дуга между точками касания равна 60°. 238. Две равные окружности пересекаются так, что их общая внешняя касательная равна их общей хорде. Определить величину внутренних дуг, заключенных между точками пересечения. 239. Две равные окружности внешне касаются; ABCD— их общая секущая, проведенная по одну сторону центров так, что AB=BС=CD. Определить дугу АВ. 240*. Две окружности внешне касаются между собой. Их общая внешняя касательная образует с общей внутренней касательной угол в 60°. Определить отношение радиусов. 241. Два круга внешне касаются между собой. Их общая внешняя касательная составляет с линией центров угол в 30°. Определить радиусы кругов, если расстояние между центрами равно 1 ф. 242. В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, которая касается меньшей окружности. Определить радиус меньшей окружности, если отсеченная дуга содержит 90°, а хорда равна 1 метру. 243*. Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Из точки С одной окружности проведены прямые через А и В до встречи, в точках D и Е, со второй окружностью. Угол АСВ= 36° 15'. Определить величину дуги DE (не проходящей через А и В). 244. Две окружпости пересекаются. Радиусы, проведенные в обе точки пересечения, образуют при одном центре угол в 40°, а при другом — в 100°. Под каким углом пересекаются окружности*)? *) Углом пересечения двух окружносмей называется угол между касательными в точке пересечения. ОТВЕТЫ
|
|
|
BD= 43°; 
