§ 7. Пропорциональность прямых линий.

Свойство биссектрисы угла в треугольникe .

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

245.   Стороны   угла А пересечены двумя параллельными прямыми ВС и DE (означая через В и D точки на одной стороне угла). Требуется:

1)   определить АЕ, если АВ= 8 д., AD = 1 ф. и АС =10 д.;

2)  определить  АВ, если АС =12 вершк.,  АЕ=1 арш. и АВ+AD=21 вершк.;

3)   определить AD, если AC : AE = ³/₁₁ : 0,6 и BD = 12 дм.

246.  В  трапеции  АВСD  боковые  стороны  АВ и СD продолжены до взаимного пересечения в точке М. Требуется:

1)  определить   СМ,   если АВ =1 м.,   CD = 15  дм. и ВМ=8 дм.;

2)  определить ВМ, если сторона АВ = 1 ф. и CD : CM= = 0,1(6) : 0,25;

3) определить СD, если АВ : ВМ= 17: 9 и CD — СМ = 1 арш.

247.  В  треугольнике  ABC на  стороне  ВА отложена часть ВМ и проведена прямая MN параллельно стороне АС. Требуется:

1)   определить ВМ и BN, если ВА = 1 ф., ВС=1  арш. и BM + BN = l метру;

2)  определить АВ, если BM=³/₇BN и ВС — АВ =2 метр.;

3)   определить ВМ, если АМ = ¹⁵/₁₁CN  и  BN=2,75  д.;

4)  определить BM, если BM = СN, AM= 8 д. и BN= 1,5 ф.

248.  BA и BD — отрезки одной стороны угла В; ВС и BE—отрезки другой стороны его. Узнать, параллельны ли прямыe АС и DE:

1)  если BA : AD = 3 : 4, ВС= 1 ф. и ВЕ = 1  арш.;

2)  если BD : AD = 11 : 8,5 и ВС= ⁵/₁₇СЕ;

3)  если BA=⁷/₁₃BD, ВС= 1 арш. и СЕ =20 дюйм.

249.  В трапеции ABCD боковая сторона АВ разделена на отрезки AM= 10 д. и  ВМ= 1 ф. и из точки М проведена  прямая   параллельная  основаниям  до  встречи,  в точке N,   с боковой  стороной CD. Определить  CD, если CN= 18 д.

250.   В  треугольнике  проекции   боковых   сторон   на основание равны 15 д. и 27 д., а большая боковая сторона равна 45 д. На какие части она делится (считая от вершины)   перпендикуляром   к   основанию,   восставленным из его средины? (Два случая в положении высоты.)

251.     ABCD—трапеция,  где  ВС || AD; E и F—точки на АВ и CD,  причем  BE=³/₇AB и CF=³/₇CD.  Диагональ АС, равная 21 метр., пересекается с линией EF в точке М. Определить AM и МС.

252*. ADB и АСЕ— стороны угла А. Прямые ВС и DE пересекаются в точке F.
Дано: АВ = а, BF : FC = m : n в DF :  FE = p : q. Требуется определить AD.

----------------------

253.  BD — биссектриса   угла В  в треугольнике  ABC. Требуется определить:

1)  отрезки  AD  и DC,   если АВ=10 д., ВС=15 д. и АС=20 д.;

2)  сторону ВС, если AD:DC=8:5 и АВ=1 арш.;

3)  сторону АС, если АВ:ВС=2:1 и DC— AD = l м.;

4)  стороны АВ и ВС, если периметр=40 д., АD=9 д. и DС=6 д.;

5)  сторону АВ, если ВС=3¹/₂ д. и AD=⁵/₁₂AС.

254.  Доказать,   что  в  треугольнике   отрезки   стороны, образуемые биссектрисой, всегда менее прилежащих  сторон.

255. Угол треугольника, заключенный между сторонами в 9 д. и 6 д., разделен пополам. В отрезках третьей стороны получился равный одной из данных сторон. Определить третью сторону.

256.   BD — биссектриса  угла  В в треугольнике АВС Требуется определить:

1)   отрезок DC, если AB : AD = ²/₃ : 0,5 и ВС=1 ф.;

2)  сторону АС, если АВ+ВС=6 м. и AD =⁴/₁₅АВ;

3)  сторону АВ, если АВ=DC, AD = 9 вершк. и ВС=1 арш.

257.  D — точка на стороне ВС в треугольнике АВС. Узнать, делит ли прямая AD угол А пополам:

1)   если  АВ=1 ф., АС=15 д., ВD=8 д. и DC= 10 д.;

2)  если  АВ=1 ф., АС=2 арш. и BD : DC=14 : 3;

3) если  АВ =⁵/₁₁АС, BD =2 м. и DC= 4,5 м.;

4)  если  АВ=1ф., АС=56 д. и BD=³/₁₇BC.

258 В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС. Определить отрезки BE в ЕС, если АВ=14 д., ВС=12 д. и АС=10 д.

259. Взяв построение из предыдущей задачи, определить, чему должно быть равно отношение АВ: АС, чтобы иметь AD = ⁵/₁₁AB.

260.   Стороны треугольника равны 51 д., 85 д. и 104 д. Проведена окружность, которая   касается обеих меньших сторон, а центр  имеет  на  большей  стороне. На какие части большая сторона делится центром?

261.  В  равнобедренном  треугольнике   высота = 20 д., а основание относится к боковой стороне как 4:3. Определить радиус вписанного круга.

262.  В равнобедренном треугольнике   центр   вписанного круга делит  высоту  в  отношении 12:5, а боковая сторона=60 вершк. Определить основание.

263.   В равнобедренном   треугольнике радиус  вписанного круга составляет ²/₇ высоты,   а периметр  этого треугольника равен 56 д. Определить его стороны.

264.   Хорда АВ = 15 д., хорда АС=21 д. и хорда ВС= 2 ф. Точка В — средина  дуги ВС.  На  какие  части   BE и ЕС делится хорда ВС линией AED?

265.   В треугольнике АВС даны стороны а, b и с. ВD — биссектриса  угла В; О —точка пересeчения BD и биссектрисы угла С. Требуется определить отношение ОD : ОВ.

266.  В треугольнике  АВС сторона АВ = 15 вершк. и АС=10   вершк.; АD — биссектриса   угла  А;   DE || AВ. Определить AЕ, ЕС и DE.

267*. В равнобедренном треугольнике АВС сторона ВА = ВС= а, сторона АС=b; AN и СМ— биссектрисы углов А и С. Определить длину MN.

ОТВЕТЫ