§ 8. Подобие треугольников и многоугольников.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

268. Стороны треугольника равны 1 ф., 16 д. и 2 ф.; большая сторона подобного ему треугольника равна 18 д. Определить две друие его стороны.

269.   Стороны треугольника относятся как 4:5:6; меньшая   сторона   подобного   ему   треугольника  равна   1   арш. Определить другие стороны второго треугольника.

270.   Стороны треугольника относятся как 2:5:4; периметр подобного ему треугольника равен 4 ф. 7 д. Определить стороны второго треугольника.

271. В треугольниках ABC и A1B1С1 дано, что / А=А1 и / B=B1 . Решить для этих треугольников следующие задачи:

1)   Дано: а = 10; b =14; а1 = 25; c1 = 20*).Определить с и b1.

*) Предполагается, чтр стороны измерены одной и той же единицей.

2)   Дано: а =35;   а1 =21;   с — c1 = 8. Определить с.

3)   Дано: а + с = 69; а : b =3 : 4;  b1: c1 = 6 : 7. Определить а.

272. В треугольниках ABС и DEF угол А = Е и угол B = D. Сторона АB=16 д.; ВC=20 д.; DE=1 ф.; AС—EF= 6 д. Определить AC, EF и DF.

273. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 д. и 10 д.; основание другого равно 8 д. Определить его боковую сторону.

274. В треугольниках АВС и А1В1С1 дано,что  / B=B1 и что стороны угла В в 2,5 раза более сторон угла B1. Определить АС и A1C1 если  их сумма  равна 3 ф. 6 д.

275.  В треутольниках ABC и DEF имеется: / B = D, AB = 4/3DE  и DF= 0,75 BC. Определить  АС и  EF, если их разность = 5 д.

276.   Узнать, подобны ли треугольники, если стороны их таковы:

1)   1  ф.,  1,5 ф. и 2 ф.;   10 д., 1  ф.  3 д.   и   1  ф.  8 д.

2)   1  м.,  2 м. и 15 дм.;   12 дм., 8 дм. и 16 дм.

3)   1 ф., 2 ф. и  1 ф.  3 д.;   10 д., 9 д. и 1 ф. 4 д.

277. 1) В треугольнике АВС сторона АВ = 15 м. и AС = 20 м.; на стороне АВ отложена часть АD=10 м., а на стороне АС часть АЕ= 12 м. Подобны ли треугольники ABC и ADE?

2) В предыдущей задаче, сохранив длину АВ и.АС, взять АD=12 м. и АЕ = 9 м. Будут ли тогда подобны треугольники АВС и ADE?

278. 1) В двух треугольниках большие стороны равны 1 арш. и 1 арш. 4 вершк., а соответствующие им высоты равны 12 вершк. и 1 арш. 2 вершк. Подобны ли треугольники?

2) В двух троугольниках большие стороны равны 1 м. и 2 м., а соответствующие им высоты равны 8 дм. и 1,6 м. Подобны ли треугольники?

279.   АВ— диаметр одной окружности; АС— хорда. Описана другая окружность на диаметре BE равном 13/17 AB,   и в ней проведена хорда DF равная 13/17 АС. Определить EF, если ВС=2 ф. 10 д.

280.   1) Стороны  одного  треугольника  равны 8 вершк., 1 арш. и 1 арш. 4 вершк.; периметр подобного ему треугольника   равен   3   арш.   7 вершк.   Определить   стороны второго треугольника.

2) Периметр одного треугольника составляет 11/13 периметра подобного ему треугольника. Разность двух сходственных сторон равна 1 м. Определить эти стороны.

281.   Дан треугольник  ABC и   внутри   его линия DE параллельная АС. Определить длину BE: 1) если АС = 20 д., АВ= 17 д. и ВD = 11,9 д.; 2) если АС = 18 дм., АВ = 15 дм. и АD = 1  метру.

282.   Дан тр-к ABC и внутри его линия DЕ параллельная стороне AC. Требуется:

1)   Определить AD, если АВ = 16 см., АС=2 дм. и ВЕ=15 см.

2)   Определить отношение AD : BD, если дано AС : DE  = 5/7 : 0,(36).

283. В треугольнике основание равно 2 ф. 6 д., а высота 1 ф. Какую длину имеет линия, проведенная между боковыми сторонами параллельно основанию на расстоянии 2 д. от него?

284.   1)  Основание и высота тр-ка равны 2 м. и 25 дм.; параллель к основанию, проведенная между боковыми сторонами,   равна   12   дм. На каком расстоянии она находится от основания?

2) Основание тр-ка равно 2 арш.; параллель к основанию, проведенная на расстоянии 9 вершк. от него, равна 20 вершк. Определить высоту тр-ка.

285.   В   тр-ке   ABC,  стороны которого   а, b и с  даны, проведена параллельно АС прямая MN так, что AM=BN. Определить MN.

286. В тр-ке ABC проведена прямая BD так, что / ВDС= / АВС; она образует на стороне АС отрезки AD = 7 д. и DC= 9 д. Определить сторону ВС и   отношение BD : BA.

287. В тр-ке ABC проведена прямая BD так, что / ABD = / ВСА. Определить отрезки AD и DC; если АВ =2 м. и АС=4 м.

288.   В тр-ке АВС на стороне  ВС отложен отрезок CD равный 2/5 АС, а на стороне АСотрезок СЕ равный 2/5 ВС, и точки D и Е соединены. Требуется:

1)   определить АВ, если АВ — DE = 1 ф.;

2)   доказать, что  в 4-угольнике ABDE сумма противоположных углов равна 2d.

289.   Дан тр-к ABC. Нa продолжении стороны АВ отложен отрезок BD = 4/7 АВ и на продолжении стороны СВ— отрезок BE = 4/7CB; точки D и Е соединены. Через вершину В проведена прямая, пересекающая АС в точке F, a BE — в точке G. Требуется определить BF и BG, если FG = 2 арш.  12 вершк.

290.  ABCD — данная трапеция, причем ВС || AD; О — точка пересечения диагоналей; АО =8 см., ОС = 1 дм. и BD = 27 см. Определить ОВ и ОD.

291. ABCD — данная трапеция, причем ВС || AD; О — точка пересечения диагоналей; ВО : ОD= 0,3 : 2/3; средняя линия трапеции равна 2 ф. 5 д. Определить оба основания и отношение АО : ОС.

292. В трапеции  ABCD (где ВС || AD) с диагональю BD углы ABD и BCD равны. Дано: ВС = 10 д., CD = 15 д. и BD = 20 д. Определить AB и AD.

293. В трапеции ABCD с диагональю АС углы АВС и ACD равны. Определить диагональ АС, если основания ВС и AD соответственно равны 1  ф. и 2 ф.  3 д.

294. Основания трапеции относятся как 5 : 9, а одна из боковых сторон равна 1 арш. На сколько надо ее продолжить, чтобы она встретилась с продолжением другой боковой стороны?

295. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 420 м. На стороне   ВС  взята   точка   Е так, что ВЕ: ЕС = 5 : 7, и проведена   прямая  DE,   пересекающая   продолжение   АВ в точке F. Требуется определить BF.

296. ABCD — данный параллелограмм; F—точка на продолжении стороны АВ; Е — точка пересечения DF и АС. Определить BF, если АЕ : ЕС = т : п и АВ = а.

297. ABCD — данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена прямая перпендикулярная к ВС, которая пересекает ВС в точке Е, а продолжение АВ—в точке F. Определить BE, если АВ = а, ВС= b и BF= c.

298. В треугольник вписан параллелограмм, угол которoго совпадает с углом тр-ка. Стороны тр-ка, заключающие этот угол, равны 20 д. и 25 д., а параллельныя им стороны параллелограмма относятся как 6:5. Определить стороны параллелограмма.

299. В тр-к ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Определить сторону ромба, если АВ = с и АС= b.

300. Прямая, проведенная через вершину ромба, вне его, отсекает на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Определить сторону ромба.

301. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании тр-ка, а другие две на боковых сторонах. Определить сторону квадрата.

302*. В треугольник, основание которoго равно 4 ф., а высота 1 ф. 4 д., вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причем большая сторона лежит на основании треугольника. Определить стороны прямоугольника.

303. В треугольник, у которoго основание равно 80 д., а   высота   10   д.,   вписан   прямоугольный   равнобедренный тp-к так, что его гипотенуза параллельна основанию дан-нoго тр-ка, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Определить гипотенузу.

304. В   треугольник  вписан   полукруг,   у   которoго  полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах тр-ка) параллелен основанию. Определить  радиус, если основание тр-ка равно а, а высота h.

305. В тр-ке АВС угол С прямой; АС= 6 д., СВ =1 ф. Из А проведена прямая АD под углом ADC = 90°—В. На какие части она делит СВ?

306. В тр-ке АВС даны две стороны: ВС=1 арш. и АС==12 вершк., и сумма соответствующих высот AD + BE=14 вершк. Определить AD и BE.

307. Стороны параллелограмма равны 2 м. и 16 дм.; расстояние между большими сторонами равно 8 дм. Определить расстояние между меньшими сторонами.

308.   Периметр параллелограмма равен 4 ф., а его высоты относятся как 5:7. Определить соответствующие им стороны.

309.   Определить  длину   хорды,   если   дан   радиус  r  и расстояние а от одного   конца хорды до касательной, проведенной через другой её конец.

310. Две окружности внешне касаются. Прямая, проведенная через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна равна 13/5 другой. Определить радиусы, если расстояние между центрами равно 3 ф.

311.  АВС - данный треугольник; CD — биссектриса угла С; BE—внутренняя прямая параллельная АС. Определить DE, если ВС= а и АС = b.

312. ABC—данный треугольник; BD — высота; АЕ — биссектриса угла A; EF — перпендикуляр на АС. Определить EF, если BD =2 ф.  6 д. и АВ: АС=7 :8.

313. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Определить сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны l и т.

314*. ABCD — данная трапещция, причем ВС || AD; в точкe Е сторона АВ разделена в отношении т : п (от А к В), и проведена к сторонe CD прямая ЕF параллельная AD. Определить длину ЕF, полагая АD = а и ВС= b.

315. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояния относятся как 2 : 3 : 4, пересечены двумя сходящимися прямыми. Из полученных четырех параллель-ных отрезков крайние равны 5 ф. и 8 ф. Определить средние отрезки.

316*. В тр-ке ABC проведена параллельно стороне АС прямая MN так, что она есть средняя пропорциональная между отрезками стороны ВС. Определить длину MN, если  ВС= а и АС= b.

317.   В тр-ке АВС проведена   от ВА к ВС прямая DE параллельная АС. Дано: АВ = 24 м., BС= 32 м., АС= 28 м. и AD + CE =16 м. Требуется определить DE.

318.  AD и BE—высоты тр-ка АВС, пересекающиеся в точке О. Дано: AD + BE=2 ф. 11 д., АО = 9 д. и ВО =1 ф. Требуется определить  ОЕ и  ОD.

319.   В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100 д., а основание 60 д., вписан круг. Определить расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

320. Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна а. Определить радиус круга, вписаннoго в этот сектор.

321. Во вписанном 4-угольнике две противоположные стороны а и с продолжены до взаимного пересечения. Определить длину продолжений, если две другие стороны этого 4-угольника равны b и d, при чем b < d.

322.   Стороны одного 5-угольника равны 2 ф. 11 д., 1 ф. 2 д., 2 ф. 4 д., 1 ф. 9 д. и 3 ф. 6 д.; меньшая сторона подобного ему 5-угольника равна 1 ф. Определить остальные стороны его.

323.   Стороны одного 4-угольника относятся между собой как   1 : 1/2 : 0,(6) : 2;  периметр  подобного ему 4-угольника равен 75 м. Определить стороны второго 4-угольника.

324.   Стороны   одного   4-угольника  равны  10 д.,  15 д., 20 д. и 25 д.;  в подобном  ему 4-угольнике сумма наибольшей и наименьшей  сторон  равна 1 арш. Определить стороны второго 4-угольника.

325. ABCDE и A1B1C1D1E1— подобные 5-угольники, причем А и A1, В и B1...— сходственные вершины. Проведены диагонали АC и АD, А1C1 и А1D1. Дано: АВ= 10 д., АС=1 ф., АD = 1 ф. 2 д. и A1B1 =1 ф. 3 д. Требуется определить А1C1 и А1D1.

326.   Наибольшие  стороны  двух подобных многоугольников равны 35 м. и 14 м., а разность их периметров равна 60 м. Определить периметры.

327.   В   одном   из   двух   подобных    4-угольников диагонали  равны 1  арш. и 1,5 арш.   Определить диагонали другого, если разность между ними равна 5 вершк.

328.   В  4-угольнике  ABСD диагональ АС продолжена на длину CC1= 3/7 АС и проведены:   C1B1 ||  CB до встречи с продолжением АВ и С1D1 || СD до встречи с  продолжением AD. Определить периметр AB1C1D1,  если периметр ABCD равен 56 дюйм.

329.   Две окружности разделены на части в одинаковом  отношении  и, соединяя точки деления, получены вписанные многоугольники. Периметр первого многоугольника равен 30 м., а радиус   первой   окружности равен 5 м. Определить радиус  второй  окружности,  если  периметр  второго многоугольника равен 24 м.

330.  В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС = b. Прямая  EF отсекает  параллелограмм   ABEF подобный ABCD. Определить отрезок BE.

331.  В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС = b. Прямая EF, параллельная   АВ,   делит  данный параллелограмм   на   два   подобных   между   собой  параллелограмма. Определить отрезок BE.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz