§ 9. Числовая зависимость между линейными элементами треугольников и нeкоторых четырeхугольников.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

1) Прямоугольный треугольник.

Обозначения: а и b*) — катеты; с — гипотенуза; р и q — проекции катетов а и b на гипотенузу; h — высота из вершины прямого угла.

*) Предполагается,  что линии измерены  одной и той же единицей.

Указание. В № 333 и во многих других случаях выгодно, при вычислении, разность квадратов заменять произведением суммы на разность.

332.   Вычислить гипотенузу, если даны оба катета:

1)   1  ф.  и  1  арш.  4 вершк.;    2)  2 арш.   и   2,75 ф.;

3)   4 м. и 9 дм.;   4)  60 д. и  91  д.;   5)  21  и 31/4;  

6) 3/2 и 7/16;     7)   16,8  и  2,6;     8)  5  и  6.

333.   Вычислить второй  катет, если даны гипотенуза и первый катет:

1)  289 и 240;   2) 269 и 69;    3)  145  и  143;

4)   42,5 и 6,5;       5)   17 и 152/5;    6)   10  и  7.

334.   Узнать,   какими   тремя   последовательными целыми числами  могут   выражаться   стороны   прямоугольного   треугольника.

В задачах 335 — 343 требуется по двум данным элементам (см. в обозначениях, перед № 332) вычислить остальные четыре.

335.   1) а =15; b = 20.   2) а = 24; b = 7.   3) а = 4; b = 5.

336.   1) а = 100; c = 125.   2) b = 65; c = 169.   3) а = 600; c = 625.

337.   1) a = 6;  р = 3,6.        2)  b = 7;  q = 1,96.

338.  1) c = 29; р =156/29.     2) c = 3; q =2.

339.   1) p = 3/2;  q = 8/3.           2) p = 2; q = 18.

340.   1) a =136; h = 120.    2) b = 9;  h = 832/41.

341.   1) p = 1,75; h = 6.      2) q = l;  h = 2.

342.  1) a = 45; q = 48.      2) b = 5; p = 2.

343.   1) c = 121/2; h = 6.       2)  c = 8; h = 5,

344.   1) Катеты относятся как 5:6, а гипотенуза равна 10 ф.  2 д. Найти отрезки гипотенузы (образуемые высотой).

2) Катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 м  более другого. Определить гипотенузу.

345.   Катеты относятся как 3:7, а высота, проведенная на гипотенузу, равна 42 вершк.   Определить отрезки гипотенузы.

346.   р : q = 4 : 3;  а2 — b2 = 12. Определить а и b.

347.   а : b =1 : 2,4;  с = 91. Определить а и b.

348.   а : с = 80 : 89; b = 117. Определить а и c.

349.   р : q =1 : 3; а = 6. Определить с.

350.  р : q = 4 : 9; h = 18. Определить с.

351.   1) с + а = 49; b = 35. Определить с и а.

2) с — b = 2; а = 5. Определить с и b.

352.   1) a + b = 71; с = 61. Определить а и b.

2) b — а =79; с = 101. Определить а и b.

353.  1)  p — q = 32; h  = 30. Определить p и q,

354*.  1) Доказать, что a • b = c • h.

2)   а + b = 70; h = 24. Определить с, а и b.

3)   а + b + с = 30; h = 4 8/13   Определить с, а и b .

355. Доказать  равенство         

356. 1) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на а и b. Найти ее расстояние от вершины.

2) Стороны прямоугольника равны 5 ф. и 7 ф. 7 д. Чему равны его диогонали?

357.   1) Сторона квадрата равна а. Чему равна его диогональ?

2) Определить сторону квадрата, если она менее диогонали на 2 д.

358.   1) Стороны прямоугольника равны а и b. Определить радиус описанного круга.

2) В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 8:15. Определить эти стороны, если радиус круга равен 2 ф.  10 д.

359.   1)   Катеты  прямоугольного   тр-ка   равны   8 дм и 18 см. Определить радиус описанного круга.

2)  Катеты прямоугольного тр-ка равны 1 арш. и 12 вершк. Определить медиану гипотенузы.

3)   Задачу № 343 решить с помощью медианы.

360. 1) В равнобедренном тр-ке боковая сторона = 17  вершк., а основание = 1  арш. Определить высоту.

2) Определить стороны равнобедренного тр-ка, если его высота = 35 д., а основание относится к боковой стороне как 48:25.

3) В равнобедренном тр-ке основание = 4 д., а угол  при нем равен 45°. Определить боковую сторону.

361.   1)   В равностороннем   тр-ке   определить   высоту по данной стороне а.

2)   В равностороннем тр-ке высота менее стороны на т. Определить сторону.

3)   В прямоугольном тр-ке один из углов равен 30°, а болышй   катет равен 6 вершк. Определить две другие стороны этого тр-ка.

362.   1) Боковые   стороны   треугольника   равны 25 д. и 30 д., а высота 2 ф.  Определить основание.

2)   В   треугольнике   больший   угол   при   основании   равен 45°,   а   высота делит   основание   на  части в 20 д. и 21  д. Определить большую боковую сторону.

3)   Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 д. и 50 д., а их проекции на данную прямую относятся как  3:10.

363.   1) Диогонали ромба равны  2 ф. и 5 ф. 10 д. Определить сторону.

2) Определить диогонали ромба, если они относятся как 3 : 4, а периметр = 1 метру.

364. 1) В равнобедренной трапеции основания равны 10 д. и 2 ф., а боковая сторона 2 ф. 1 д. Определить высоту трапеции.

2) В равнобедренной трапеции боковая сторона = 41 см, высота = 4 дм и средняя линия = 45 см. Определить основания.

365. Доказать, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диогоналей равна разности квадратов оснований.

366. В прямоугольной трапеции меньшая диогональ равна наклонной боковой стороне. Определить большую диогональ, если наклонная боковая сторона = а, а меньшее основание = b.

367.  1) Радиус круга равен 89 дм.; хорда =16 м. Определить её расстояние от центра.

2)   О — центр; АСВ — хорда;  ОСD — радиус перпендикулярный   к  ней.  ОС= 9 вершк. и CD =2 арш. Определить хорду.

3)   Радиусы  двух   пересекающихся   окружностей   равны 13 д. и 15 д., а общая хорда равна 2 ф. Определить расстояние между центрами.

368. В   сегменте   хорда = а,   а  высота = h.   Определить радиус круга.

369.   Радиус круга равен 25 д.; две параллельные хорды равны  14 д.  и 40  д. Определить   расстояние   между   ними.

370.   Расстояния   от  одного   конца   диаметра до концов параллельной  ему   хорды   равны  13 д. и 7 ф. Определить радиус круга.

371.   1) К   окружности   радиуса = 3 ф.   проведена касательная из точки, удаленной от центра на 85 д. Определить длину касательной.

2)   Из общей точки   проведены   к  окружности две касательные. Радиус  окружности  равен 11 д., а сумма касательных равна 10 ф. Определить расстояние от центра до исходной точки касательных.

3)   К   окружности   радиуса = 7   д.   проведены  две  касательные из одной точки, удаленной   от   центра на 25 д. Определить расстояние между точками касания.

372.   Два круга,  радиусов R и r, внешне касаются. Из центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из полученной точки касания   проведена касательная к первому   кругу.   Определить  длину  последней касательной.

373.    1) Два   круга   касаются   извне.   Определить   длину их   общей   внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 д. и 25 д.

2) Радиусы двух кругов равны 27 д. и 13 д., а расстояние между центрами равно 50 д, Определить длину их общих касательных.

374.   Касательная и секущая, проведенные из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м., а внутренняя часть секущей равна 10 м. Определить радиус окружности.

375.  АВ и CD—параллельные прямые; АС— секущая; Е и   F— точки  пересечения  линий АВ и CD   с   биссектрисами  углов С и А.   Дано: AF = 96 д. и CЕ = 110 д. Требуется определить АС.

376.   В тупоугольном равнобедренном тр-ке ABC ocнование АC=32 м., а боковая сторона =20 м. Из вершины В восставлен перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с основанием. На какие части он делит основание?

377.   В тр-ке АВС  угол   С прямой;  CD — перпендикуляр к гипотенузе; DE и DF—перпендикуляры к катетам АС и ВС.   Дано: DЕ = 4 д. и DF = 8 д.   Определить АС и ВС.

378.   Катет равен  2 д.,   а  полуокружность,  описанная на нем, как на диаметре, делит гипотенузу  в  отношении 4: 5   (начиная   от   данного   катета).   Определить гипотенузу.

379.   Катет АС =15 д.; катет  СВ = 8 д. Из центра С радиусом   СВ  описана  дуга,   отсекающая   от   гипотенузы часть BD, которую и требуется определить.

380.   Определить катеты прямоугольного тр-ка, если дуга, описанная   из   вершины   прямого   угла   радиусом равным меньшему   катету, делит гипотенузу   на отрезки в 98 д. и  527 д.  (начиная от меньшего катета).

381. АВ— диаметр; ВС— касательная; D — точка пересечения прямой АС с окружностью. Дано: AD = 2 арш. и DC=18 вершк. Требуется определить радиус.

382.   АВ — диаметр; ВС и CDA — касательная и секущая. Определить oтношение CD : DA, если ВС равна радиусу.

---------

383.   В прямоугольном тр-ке биссектриса прямого угла делит  гипотенузу в отношении 7 : 9. В каком  отношении (считая части в том же порядке) делит ее высота?

384.   Определить катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в  15 д. и 20 д.

385.   В равнобедренном  прямоугольном  тр-ке  катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?

386.   В прямоугольном тр-ке биссектриса острого угла делит катет на отрезки т и п  (т > п). Определить другой катет и гипотенузу.

387. В прямоугольном тр-ке, катеты которого  равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из вершины прямого угла и биссектрисы обоих углов, образуемых высотой с катетами. Определить отрезок гипотенузы, заключенный между биссектрисами.

388. В прямоугольном тр-к- ABC катет BC = 6 д. и гипотенуза АВ = 10 д. Проведены биссектрисы угла ABC и его смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точках D и Е. Определить длину DE.

389. В равнобедренном тр-ке АВС дано: АВ = ВС = 10 м  и АС = 12 м. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке D. Требуется определить BD.

390. 1) В равнобедренном тр-ке основание = 30 д., а боковая сторона = 39 д. Определить радиус вписанного круга.

2) В равнобедренном тр-ке центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15. Найти радиус этого круга, если основание равно  5 ф.

391. Из точки В проведены к данной прямой перпендикуляр ВС и наклонная ВА. На АС взята точка D, и прямая BD продолжена до пересечения, в точке Е, с линией AE перпендикулярной к АС. Определить АЕ, если ВА = 53 д., AD = 8 д. и DС=20 д.

392. 1) В равнобедренном тр-ке основание = 30 д., а высота = 20 д. Определить боковую высоту.

2)   В равнобедренном тр-ке высота, проведенная между равными   сторонами,   равна   3 д.,   а   боковая высота = 4 д. Определить стороны этого треугольника.

3)   Диагонали ромба равны 14 д. и 4 ф.  Определить его высоту.

393. 1) Гипотенуза АВ = 2арш.2вершк.; катет  ВС = 1арш. Определить длину перпендикуляра, восставленного из средины гипотенузы до пересечения с катетом АС

2) Радиус круга равен r. Определить длину хорды, проведенной из конца данного диаметра через средину перпендикулярного к нему радгуса.

394. В прямоугольном тр-ке ABC катет АС = 16 д. и катет ВС = 1 ф. Из центра В радиусом ВС описана окружность, и к ней проведена касательная параллельная гипотенузе (причем касательная и треугольник лежат по разные стороны гипотенузы). Катет ВС продолжен до нересечения с проведенной касательной. Определить длину продолжения.

395. Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 13 ф., а расстояние меладу точками касания равно  10 ф.  Определить радиус круга.

396*. В прямоугольной трапеции основания равны 17 д. и 25 д., а наклонная боковая сторона = 10 д. Из средины этой стороны восставлен перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.

-----------

397.   АС и СВ — катеты; CD —высота; BE || ВС. Определить отношеybе АЕ : ЕС, если АС: СВ = 4 : 5.

398.   АС   и    СВ — катеты;   CD — высота;  BE _|_ АС и DF _|_ CB.   Определить   DE  и   DF,   если   АС=75 д   и BC=100 д.

399.   В двух  равнобедренных  тр-ках   боковые  стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при  вершине равна 180°. Определить основания, если они относятся как 9:40, а длина боковой стороны равна 41 д.

400.   1) В треугольнике основание = 60 м., высота =12 м. и медиана основания = 13 м.   Определить боковые   стороны.

2) В прямоугольном тр-ке найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся как 40:41.

401.   На сторонах квадрата ABCD отложены, в одном направленш, отрезки АЕ, BF, CG и DH равные четвертой части стороны, и проведены  линии AG,  ВH,   СЕ и  DF, отчего получился — в их  пересечении — новый квадрат. Определить   его   сторону,   если   сторона   данного   квадрата равна а.

402.   Из вершин данного  квадрата  проведены  внутри его прямые, отклоненные от его сторон на 30°, которые своим пересечением   образуют   новый квадрат. Определить сторону этого квадрата, если сторона данного равна а.

403.   Стороны прямоугольника равны а и b (а > b). Определить сторону квадрата, образуемого биссектрисами углов прямоугольника.

404. Хорда АВ = 12 д.; хорда CD = 35 д.: сумма дуг АВ и CD равна 180°. Определить радиус круга.

405*. Если две хорды пересекаются внутри круга под прямым углом, то сумма квадратов четырех отрезков их равна квадрату диаметра. Доказать это.

406. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, если его основание и боковая сторона соответственно равны: 1) 6 д. и 5 д.; 2) 24м. и 13 м.

407. Диагонали ромба суть 14 м. и 48 м. Определить радиус вписанного в него круга.

408*. В прямоугольном тр-ке катеты равны 13 д. и 84 д. Определить радиус вписанного круга.

409. Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65 д.; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63 д.; длина общей внутренней касательной равна 25 д. Определить радиусы окружностей.

410*. Длины двух параллельных хорд равны 40 д. и 48 д., а расстояние между ними равно 22 д. Определить радиус круга.

411*. В равнобедренной трапеции основания равны 80 ф. и 60 ф., а боковая сторона равна 26 ф. Определить радиус круга, описанного около этой трапеции.

412. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны 36 д. и 100 д. Определить радиус круга.

413. Около круга, радиус которого равен 1 ф., описана равнобедренная трапеция с боковой стороной в 25 д. Определить основания этой трапеции.

414. Около круга радиуса r описана равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны относятся как т : п. Определить все стороны этой трапеции.

415. АВ и АС—касательные к одному кругу с центром О; М — точка пересечения линии АО с окружностью; DМЕ—касательная, проведенная через М  между АВ и АС. Определить длину DE, если радиус круга равен 15 д., а расстояние АО =39 д.

416. Катеты равны 15 д. и 20 д. Определить расстояние от центра вписанного круга до высоты, проведенной на гипотенузу.

417.   В прямоугольном тр-ке ABC из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу, и на нем, как на диаметре, описана окружность, которая на катетах СА и СВ дает внутренние отрезки т и п. Определить катеты.  (т =12; п =18).

418.   В равнобедренном прямоугольном тр-ке ABC ка-тет ВС = а; на нем взята часть СD = b; на гипотенузе АВ взята точка Е, равноудаленная от точки D и от катета АС. Найти длину ЕD.

419.   В два противоположных угла прямоугольника вписаны равные круги, которые также касаются и между собою. Определить  радиус   этих   кругов,  если   стороны  прямоугольника равны а и b.

420. В прямоугольном тр-ке катеты равны 75 д. и 100 д. На отрезках гипотенузы, образуемых высотой, построены полукруги по одну сторону с данным тр-ком. Определить отрезки катетов, заключенные  внутри этих  полукругов.

421*. Если два круга имеют внешнее касаybе, то их общая внешняя касательная есть средняя пропорциональная между их диаметрами. Доказать это.

422. В равнобедренном тр-ке радиус внутреннего вписанного круга относится к радиусу вне-вписанного круга при основании как 4 : 9, а основание = 60 д. Определить расстояние между центрами названных кругов.

423.   В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна к основаниям АВ и ВС; сумма острых углов А и С равна 90°. Основание AD = a и ВС= b. Определить боковые стороны АВ и CD.

2) Косоугольный треугольник.

424.   В  треугольнике определить вторую  боковую  сторону, если следующими числами соответственно выражаются первая боковая сторона, основание и проекция второй боковой   стороны   на   основание:    1)   6; 5; 3,8.   2) 2; 3; 2.  3)   12; 8; 11.  4)  2; 2; 3.

425.   Определить вид треугольника (относительно углов), если даны три стороны,   или   отношение их:   1)  2; 3; 4. 2)  3; 4; 5.  3) 4; 5; 6.  4)  10 : 15 : 18.  5)  68;  119; 170.

426*. 1) Две стороны треугольника равны 3 д. и 5 д. Каким целым числом дюймов может выражаться третья сторона, если против нее должен быть острый угол?

2) Две стороны треугольника равны 3 д. и 5 д. Каким целым числом дюймов может выражаться третья сторона, если против нее должен быть тупой угол?

3) Какими тремя последователными целыми числами могут выражаться стороны тупоугольного треугольника?

427. В тр-ке ABC пусть будут: b — основание; а и с — боковые стороны; р и q — их проекщи на основание; h — высота. Определить р, q и h, если даны три стороны:

1) а = 13; b = 14; с = 15.      2) а = 37; b = 30: с =13.

3) а = 25; b = 12; с = 17.       4) а = 2;    b = 4;  с = 3.

428*. 1) Даны три стороны треугольника: АВ = 8 д., ВС = 10 д. и АС =1 ф. Сторона АС служит диаметром полуокружности,   пересекающей   стороны   АВ и  ВС*)   в точках D и Е. Определить длину внутренних отрезков AD и СЕ.

*) Как узнать, соответствует ли такое предположение данным числам? (т.-е. не будет ли, напр., АВ или ВС вне полукруга? или, не находится ли вершина В внутри полукруга?)

2) Стороны тр-ка ABC суть: АВ = 8 д., ВС=6 д. и АС= 4 д.; на стороне АС, как на диаметре, описана полуокружность по одну сторону с треугольником. Требуется: 1) показать, что сторона ВС останется вне полукруга, а сторона АС разделится на две части; 2) определить внешнюю часть стороны АВ.

429. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 60° и соответственно равны: 1)  5 д. и 8 д.;    2)  8 д. и 15 д.;    3)  63 д. и 80 д.

430. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 120° и соответственно равны: 1)  3 д. и 5 д.;   2)  7 д. и 8 д.;   3)  11 д. и 2 ф.

431. В треугольнике определить третью сторону, еслв две другие образуют угол в 45° и соответственно равны: 1) 2 и 3;    2) √8  и  5;   3) √18  и 7.

432.   Боковые стороны треугольника равны 10 д. и 17 д., а высота делит основание в отношении 2 : 5. Определить основание.

433.   Определить стороны треугольника, зная, что они выражаются тремя последовательными   целыми  числами и что проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.

434.   Сторона  треугольника  равна   21   д.,   а  две   другие стороны   образуют  угол   в   60° и относятся   как 3 : 8. Определить эти стороны.

435.   В  треугольнике   боковая   сторона   равна  16 ф.  и образует  с   основанием  угол   в   60°;  другая   боковая сторона равна 2 саж. Определить основание.

436. Oснование треугольника равно 13 д.; угол при вершине равен 60°; сумма боковых сторон равна 22 д. Определить боковые стороны и высоту.

437. В треугольнике основание равно 1 ф.; один из углов при нем равен 120°; сторона против этого угла равна 1 арш. Определить третью сторону.

438. В  равнобедренном   прямоугольном   тр-ке АВС гипотенуза  АВ продолжена   на  длину  BD равную ВС,  и точка D соединена с С. Определить стороны тр-ка ABC, если катет ВС = а.

439.   Определить хорду половинной дуги, если хорда целой дуги равна а, а радиус равен r. (r = 25; а = 48).

440.   Доказать,   что   во   всяком   треугольнике   разность квадратов боковых сторон равна удвоенному произведению основания на отрезок от его средины до высоты.

441.   1) В прямоугольном тр-ке АВС катет АС = 15 д. и  катет  ВС =20 д.  На  гипотенузе  АВ отложена  часть AD = 4 д., и точка D соединена с С. Определить длину CD.

2) Треугольник ABC—прямоугольный при С. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD равный катету ВС, и точка В соединена с С. Определить длину CD, если ВС =7 д. и АС=24 д.

442.   Прямоугольный  тр-к  ABC и прямой угол ABD лежат   по разные стороны гипотенузы АВ.  Отрезок BD сделан  равным  гипотенузе,  и точка D соединена с С. Определить длину CD, если ВС= а и АС = b.

443.   В тр-ке АВС дана точка D на стороне АВ. Определить  длину   CD, если а =37, b = 15, с = 44 и AD =14.

444.   В тупоугольном треугольнике большая сторона = 1  арш.,   а высоты,   проведенные  из   обоих   ее концов, отстоят от вершины тупого угла на 2 верш, и на 3 верш. Определить две менышие стороны треугольника.

445.   Стороны равнобедренного треугольника суть: АВ= ВС=50 д. и АС= 60 д. Проведены  высоты АЕ и CD, и точки D и Е соединены. Определить стороны тр-ка DBE.

446*. Вт. тр-ке ABC из конца С стороны АС восставлен перпендикуляр к ней до пересечения, в точке D, с продолжением стороны АВ. Определить BD и CD, если АВ = 45, ВC = 39 и АС = 42.

447*. В тр-ке ABC даны стороны: АВ=15, АС=14 и ВС=13. Биссектриса угла В продолжена за его вершину до пересечения, в точке Е, с перпендикуляром к АС, восставленным из точки С. Определить длину СЕ.

448*. В тр-ке ABC даны стороны: АВ=13, АС=14 и ВС = 15. На стороне АС взята точка D так, что восставленный из нее перпендикуляр имеет внутри тр-ка ABC длину равную АВ. Определить отрезок АВ.

3) Параллелограмм и трапеция.

449. 1) Стороны параллелограмма равны 23 д. и 11 д., а диагонали относятся как 2:3. Определить диагонали.

2) Диагонали параллелограмма равны 17 д. и 19 д., а стороны относятся как 2 : 3. Определить стороны.

450. 1) Диагонали параллелограмма равны 12 д. и 14 д., а разность сторон равна 4 д. Определить стороны.

2) Определить стороны и диагонали параллелограмма, если большая сторона равна меньшей диагонали, разность сторон равна 3 д. и разность диагоналей равна 2 д.

451. Определить высоту параллелограмма, у которого основание равно 51 д., а диагонали 40 д. и 74 д.

452. В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей: 1) если основания равны 4 вершк. и 6 вершк., а боковая сторона равна 5 вершк.; 2) если одна сторона равна 5 д., а другие три равны каждая 4 д

453. Определить высоту и диагонали трапеции, если основания а и с и боковые стороны b и d выражаются следующими числами:

1)   а = 25; b = 13; с = 11; d = 15.

2)   а = 28; b = 25; с = 16; d = 17.

3)   а = 6;   b = 3;   с = 1;  d = 4.

454.   В   треугольник   вписан   параллелограм   так, что   одна   его   сторона  лежит на основании треугольника, а диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника.    Определить   стороны   параллелограмма, если в треугольнике основание равно 45 д., а боковыя стороны 39 д. и 48 д.

455.   Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали   равен   квадрату   боковой   стороны, сложенному с произведешем оснований.

456.   Доказать, что во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением  оснований.

457*. Доказать, что во всяком 4-угольнике сумма квадратов диагоналей вдвое более суммы квадратов прямых, соединяющих середины противоположных  сторон.

4) Вписанный четырехугольник.

(Применения теоремы Птоломея.)

458.   Точка окружности соединена с вершинами вписанного  в нее   равностороннего   треугольника.  Доказать, что средняя соединительная прямая равна сумме двух других.

459.  Определить диaгoнaль равнобедренной трапеции: 1) если основания равны 3 д. и 5 д., а боковая сторона 7 д.; 2) если три стороны содержат по 25 д., а четвертая 11 д.

460.   В равнобедренной трапеции боковая сторона = 45 д., а диагонали взаимно делятся на отрезки в 27 д. и 48 д. Определить основания этой трапеции.

461.   К  окружности, радиус которой равен 44 д., проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 125 д.   Определить  расстояние   между  точками касания.

462.   В 4-угольнике АВСD углы ABC и ADC прямые; АВ = 84 д., AC=85 д. и АD = 75 д.   Определить диагональ ВD.

463.  В 4-угольникe АВСD диагонали АС и ВD соответственно перпендикулярны к сторонам СD и АВ; АВ = 33 д., CD = 25 д. и АD = 65 д. Определить сторону ВС.

464*. В кругe, радиус которoго равен 25 д., проведены из общей точки две хорды: АВ=14 д. и АС = 40 д. Определить раcстояние ВС. (Два случая).

465. Хорда АD делит пополам угол CAB между диаметром АВ и хордой АС. Определить длину АD, если АВ = 8 д. и АС=1 д.

466*. Даны две концентрические окружности, причем радиус большей из них равен 24 д. Из точки А, удаленной от центра О на 25 д., проведены, по одну сторону центра, две касательные: АВ — к большей окружности и АС — к меньшей. Определить радиус меньшей окружности, если касательная АС делит угол ОАВ пополам.

467. В 4-угольнике АВСD дано: / ABC=120°, / АDC = 60°; АВ=АD = 3 д., АС = 7 д. Определить диагональ ВD.

468.  В 4-угольнике АВСD, с диагоналями АС и ВD, дано: / ABD = / ACD = 120°; АB = 16 д., CD = 21 д. и АD = 49 д. Определить сторону ВС.

ОТВЕТЫ

 
Используются технологии uCoz